제 6 장

물  질

6.1 서론

물질 내에서의 전장과 자장의 상호작용은 복잡하지만 간략화된 모델을 통하여 물질 내에서의 전장과 자장에 대한 수학적 분석을 하면 시변전자장에도 적용시킬 수 있다. 본 장에서는 다음과 같이 분류하여 논의한다.

† 유전체-전기분극[[eqn: bold P ( bold r )] ], 전속 밀도 [[eqn: bold D ( bold r )] ]

† 자성체 및 전도체 물질-자화[[eqn: bold M ( bold r )] ], 자장의 세기[[eqn: bold H ( bold r )] ]

† 경계 조건-서로 다른 물질이 접합되었을 때의 경계조건의 관계

† [eqn: R, L, C]와 같은 수동소자들이 양단전압과 전류사이의 관계

† 저항의 저항값, 커패시터의 커패시턴스값, 인덕터의 인덕턴스 값

6.2 유전체 물질

1) 무극성 물질(영구적인 전기쌍극자 모멘트가 존재하지 않는 물질)

자유전하의 운동에 의하여 전류를 발생하게 되는데, 이상적인 유전체는 자유전하를 가지고 있지 않아 전기를 발생시키는 메커니즘이 없는 물질이다.

† 유전체에서 흥미로운 점-경계면에서 전하를 가지고 있는 물질로 구성된다.

† 전기적으로 중성자(neutral atom)는 양극으로 대전된 핵이 음극으로 대전된 전자운으로 둘러싸인 상태로 가정할 수 있다.[그림 6.1(b)]

† 음전하 분포의 중심과 양전하분포의 중심은 일치한다.[그림 6.1(b)]

† 대전된 수평평판 사이의 균일 전계 내에서 전장은 전자운에 대하여 양(+)의 [eqn: z]방향, 핵에 대해서는 음(-)의 [eqn: z]방향으로 작용하게 된다.

† 이런 힘의 작용은 양과 음의 전하 중심의 위치를 변화시키는 원인이 된다.

† 전하에 대한 위치 변화는 전기쌍극자 모멘트이며 다음 식과 같이 정의한다.

[eqn: bold p = q bold d]	(6.1)

[eqn: bold d] : 양전하와 음전하 사이에서 나타나는 변위거리

[eqn: q] : 전기적으로 중성원자와 관계되는 양(量)의 총전하량

전기쌍극자 모멘트([eqn: bold p] )의 단위 : [eqn: C · m][쿨롬-미터]

† 총 전장은  수평평판에 의한 전장과 분극된 원자에 의한 전장의 합이다.

2) 극성 물질(영구적인 전기쌍극자 모멘트가 존재하는 물질)

† 전기적으로 중성분자들로 구성되어 있는 유전체

† 영구적인 전기쌍극자 모멘트를 가지고 있는 유전체 물질(물분자(H2O))

† 물에서는 음전하와 양전하의 중심은 일치하지 않는다.

† 그 결과 단일 물분자는 전계에 의해 둘러싸여 있게 된다.

† 물분자가 전하표면 사이에 놓여져 있을 때 회전력(torque)이 작용하게 되어 분자의 전기쌍극자 모멘트를 정렬하게 되어 전장을 변화시킨다.

※ 자유전하를 가지지 않는 유전체에서 전계가 가해지면 그림 6.1(무극성)과 6.2(극성)와 같이 변위가 발생되며 쌍극자모멘트를 가지게 된다. 그 모멘트는 식(6.1)로 표현된다.

6.2.1 거시적인 관점

† 체적전하밀도 개념은 전하를 미소한 체적의 크기에 따라 나눈 것으로 볼 수 있다.

† 미소체적은 양의 평균값을 얻을 수 있도록 충분히 커야하고, 그 크기는 물질의 양적인 변화가 나타나지 않을 정도로 충분히 작아야 한다.

6.2.2 전기분극 벡터

† 거시적인 점에 있어서의 전기 분극 [eqn: bold P ( bold r )]

[eqn: bold P ( bold r ) = Lim from { }{미소체적( delta V)~이내의~총~전기쌍극자~모멘트} over deltaV]	(6.2)

† 점[eqn: bold r]을 둘러싼 영역 내에[eqn: n]개, 전기쌍극자 모멘트 [eqn: bold p] 가 일정하다면

[eqn: bold P ( bold r ) = n bold p],	[eqn: bold p = {bold P ( bold r )} over n]	(6.3)

※ 진공에서는 원자나 분자가 존재하지 않으므로 전기분극 벡터는 0이다.

6.2.3 구속전하

† 이상적인 유전체의 전하는 전기쌍극자와 관계되고, 구속전하(bound charge)라 한다.

† 매우 약한 전계에서도 양과 음전하의 불가분성을 가지며, 강한 전계에서는 유전체 항복현상(breakdown)을 나타낼 수 있다.

† 구속전하가 전기적으로 중성 쌍극자들로부터 형성되므로 전체 구속전하량은 영이 된다는 점이다. 이것은 구속면전하밀도, 구속체적전하밀도 및 전기분극 사이에서 관계식을 정립하는데 매우 유용하다.

▣ 작은 평면표면에서의 쌍극자 수의 계산

† 그림 6.3의 유전체 내의 미소면적 [eqn: delta S_0], 법선방향[eqn: {bold hat n}_0]으로 분극된 작은 평면에서

† 단위체적당 전기쌍극자 수:[eqn: n], 거리가 [eqn: +- bold d / 2]만큼 변위를 가지는 평행 평판구조로 볼 수 있다. 여기서[eqn: bold d]는 쌍극자의 양, 음전하의 중심 사이의 벡터거리이다.

† [eqn: 평행판의~체적= delta S_0 {bold hat n}_0 CDOT bold d]

† [eqn: 절단된 쌍극자의 수(數)=n TIMES delta S_0 {bold hat n}_0 cdot bold d]

† 각 쌍극자는 한쪽은[eqn: ／qC] 다른 쪽은[eqn: １qC]의 구속전하 이므로 구속전하의 순수량은

[eqn: delta Q_b = qn times delta S_0 {bold hat n}_0 cdot bold d = nq bold d cdot delta {bold S}_0} = n bold p cdot delta {bold S}_0 = bold P cdot delta {bold S}_0]

※ [eqn: delta {bold S}_0 = delta S_0 {bold hat n}_0] : 평면표면과 관련된 면적벡터와 식 (6.3) 적용

† 크기가 같고 반대극성 [eqn: - delta Q_b]는 다른 쪽에서 나타난다.(구속전하의 총 양=0)

▣ 구속표면전하와 구속체적전하의 시각화

† [eqn: S_i] : 고체 유전체 표면, [eqn: S_e] : 외부 표면 [eqn: d bold s] : 수직방향 미세면적 벡터

† [eqn: delta Q_b (S_i 의~ 바깥쪽)= OINT_{ S_i } bold P ( bold r ) cdot d bold s]	(6.4)

† [eqn: delta Q_b (S_i 의~ 안쪽)=- OINT_{ S_i} bold P ( bold r ) cdot d bold s]	(구속전하의 총 양=0)	(6.5)

† [eqn: S_i]와 [eqn: S_e] 사이가 아주 얇은 면(shell)이 된다면,

※ 총 구속전하량은 표면전하가 되며 식 (6.4)와 같을 것이고

※ 내부의 총 구속전하량은 체적전하가 되며 식 (6.5)와 같다.

▣ 구속체적전하밀도 [eqn: rho _vb]의 계산

† 그림 6.5에서 상자 안의 총 구속전하량 (식(6.5) 참조)

[eqn: delta Q_b = - OINT_{ } bold P ( bold r ) cdot d bold s]

† 구속체적전하밀도 (체적밀도→총량/체적)

[eqn: rho _vb ( bold r ) = Lim from { delta V_box -> 0 } {delta Q_b} over {delta V_box} = Lim from { delta V_box -> 0 } {- OINT_{ S_i} bold P ( bold r ) cdot d bold s} over {delta V_box}] (점 a에서)

† [eqn: delta V_box]는 상자의 체적이며 극한은 [eqn: a](점)으로 수렴한다.

† 발산의 정의를 적용하면 다음 식이 된다.

[eqn: rho _vb ( bold r ) = - DEL cdot bold P ( bold r )]	(6.6)

▣ 구속면전하밀도 [eqn: rho _sb]의 계산

※ [eqn: +- h {bold hat n}_a]의 높이를 가지는 점[eqn: a]를 포함하는 체적 구조로 생각하면

† 내부의 구속전하의 총 양은 외부 전속과 부호 반대

[eqn: delta Q_b = - OINT_{ } bold P ( bold r ) cdot d bold s = - OINT_{ S_1} bold P ( bold r ) cdot d bold s - OINT_{ S_2} bold P ( bold r ) cdot d bold s - OINT_{ S_12} bold P ( bold r ) cdot d bold s]	(6.7)

† [eqn: S_1]은 외부이므로 전기 분극벡터는 0, [eqn: h□0] 이면

[eqn: OINT_{S_1 } bold P ( bold r ) cdot d bold s = 0],	[eqn: Lim from { h -> 0 } OINT_{ S_12} bold P ( bold r ) cdot d bold s =0]

[eqn: Lim from { h -> 0 } delta Q_b =Lim from { h -> 0 } left { - OINT_{ S_2} bold P ( bold r ) cdot d bold s right }]	(6.8)

† 구속전하밀도를 [eqn: rho _sb ( bold r )] 폐곡 구속전하의 수렴값은

[eqn: Lim from { h -> 0 } delta Q_b = OINT_{ S_a} rho _sb ( bold r ) ds]	(6.9)

[eqn: OINT_{ S_a} rho _sb ( bold r ) ds = Lim from { h -> 0 } left { - OINT_{ S_2} bold P ( bold r ) cdot d bold s right }]	(6.10)

† [eqn: h□0]이면[eqn: S_2]=[eqn: S_a], [eqn: d bold s]를[eqn: - bold hat n] 방향벡터를 이용 스칼라양([eqn: ds])으로 표시

[eqn: OINT_{ S_a} rho _sb ( bold r ) ds = Lim from { h -> 0 } left { - OINT_{ S_2} bold P ( bold r ) cdot d bold s right }= - OINT_{ S_a } [ bold P ( bold r ) cdot { bold hat n } ] ds]

[eqn: OINT_{ S_a } left { rho _sb ( bold r ) - [ bold P ( bold r ) cdot { bold hat n } ] right } ds = 0]	(6.11)

[eqn: rho _sb ( bold r ) = bold P ( bold r ) cdot { bold hat n }]	(6.12)

6.2.4 전속밀도 벡터

▣ 구속전하와 자유전하에 의한 전장[[eqn: bold E]]

† 전기분극([eqn: bold P])은 면전하와 체적전하의 형성에서 나타나는 결과이다.

† 그림 6.7에서 총 전장은 자유전하에 의한 전장과 구속전하에 의한 전장의 합이다.

[eqn: bold E ( bold r ) = INT {d Q_f} over {4 pi epsilon _0 R^2} bold hat R + int {d Q_b} over {4 pi epsilon _0 R^2} bold hat R]	(6.13)

[eqn: dQ_f = rho _l~ ( bold r ')dl] : 선로를 따라 분포된 자유전하

† [eqn: dQ_b = rho _sb~ ( bold r ')ds=bold P ( bold r ' ) cdot d bold s] : 표면에 분포된 구속전하 (식 6.12 적용)

† [eqn: dQ_b = rho _vb ( bold r ' ) dv = - DEL cdot bold P ( bold r ' )] : 체적 전체에 분포된 구속전하 (식 6.6 적용)

[eqn: rho _s~ ( bold r ')ds] : 표면 위에 분포된 자유전하

[eqn: rho _v~ ( bold r ')dv] : 체적 내에서 분포된 자유전하

▣ 전속밀도벡터(D)의 정의

† 전속밀도 [eqn: bold D ( bold r )]를 분극 벡터의 합과 전장에 [eqn: epsilon _0]를 곱한 값의 합산으로 정의하자.

[eqn: bold D ( bold r )= bold P ( bold r ) + epsilon _0 bold E ( bold r )]	← (정의한 것)	(6.14)

† 가우스의 법칙을 만족시켜야 하므로

[eqn: OINT_{ S} bold D ( bold r ) cdot d bold s = Q_f]	(6.15)

[eqn: Q_f] : 폐곡면 [eqn: S]내에서 포함된 전체자유전하(구속전하와 반대)의 양

[eqn: bold D ( bold r )](전속밀도)의 단위 : ([eqn: C/m^2])

♠ 유전체를 둘러싼 표면을 선택하였을 경우

† (6.14)의 양쪽을 [eqn: S_0]에 대하여 적분하면, 표면은 외부영역으로 분극벡터=0

[eqn: OINT_{ S_0} bold D ( bold r )cdot d bold s =OINT_{ S_0} bold P ( bold r ) cdot d bold s + epsilon _0 OINT_{ S_0}bold E ( bold r ) cdot d bold s]	(6.16)

[eqn: = 0 + epsilon _0 OINT_{ S_0}bold E ( bold r ) cdot d bold s]

† 전장에 대한 가우스의 법칙으로부터 [eqn: OINT_{ S_0}bold E ( bold r ) cdot d bold s]=([eqn: Q=Q_f + Q_b])/[eqn: epsilon _0]

† 총 구속전하([eqn: Q_b])=0 이므로

[eqn: OINT_{ S_0} bold D ( bold r ) cdot d bold s = epsilon _0 { Q_f + Q_b } over epsilon _0 = Q_f]	(6.17)

♠ 유전체내의 표면을 선택하였을 경우

† 분극벡터는 표면 [eqn: S_1]의 모든 점에서 0은 아니다.

[eqn: OINT_{ S_1} bold D ( bold r )cdot d bold s =OINT_{ S_1} bold P ( bold r ) cdot d bold s + epsilon _0 OINT_{ S_1}bold E ( bold r ) cdot d bold s]	(6.18)

† [eqn: OINT_{ S_1} bold P ( bold r ) cdot d bold s] : [eqn: S_1]에서의 구속면전하이고 총 구속전하=0 이어야 하므로

[eqn: OINT_{ S_1} bold P ( bold r ) cdot d bold s = Q_sb vert _S_1 = - LEFT [ Q_sb vert _S_v + Q_vb RIGHT ]]	(6.19)

[eqn: Q_sb vert _S_1] : 표면 [eqn: S_1]에서의 구속면전하

[eqn: Q_sb vert _S_v] : 표면 [eqn: S_v]상에서 구속면전하

[eqn: Q_vb] : 표면 [eqn: S_1]과 [eqn: S_v]사이에 존재하는 구속체적전하

[eqn: Q_b = Q_sb vert_S_1 + Q_sb vert_s_v + Q_vb = 0] (총 구속전하=0)

† 전장에 대하여 가우스의 법칙을 이용하면

[eqn: OINT_{ S_1} bold E ( bold r ) cdot d bold s= 1 over epsilon _0 LEFT [ Q_f + Q_sb vert_S_v RIGHT + Q_vb left ]]	(6.20)

[eqn: Q_f]는 [eqn: S_][eqn: S_1]에 의해 둘러싸인 총 자유전하

[eqn: Q_sb vert_S_v]는 표면 [eqn: S_v]상에서의 총구속면전하

[eqn: Q_vb]는 표면 [eqn: S_v]와 [eqn: S_1]사이의 영역에서 구속체적전하

† 정리하면

[eqn: OINT_{ S_1} bold D ( bold r ) cdot d bold s = Q_f]	(6.21)

♠ [eqn: bold D ( bold r )]에 대한 가우스 법칙의 미분형

† 식 (6.17), (6.21)은 가우스의 법칙을 적용한 전속밀도에 적용시킨 적분형태이다.

† 발산정리에 의하여 식 (6.21)은

[eqn: INT _{ V_1 } LEFT [ DEL cdot bold D( bold r )right ]dv= INT _{ V_1} rho _v ( bold r ) dv]

† 가우스의 법칙의 미분 형태

[eqn: DEL cdot bold D ( bold r ) = rho _v ( bold r )]	(6.22)

6.2.5 전화율과 유전율

† 전기분극 벡터는 전장방향에 대하여 평행, 크기는 정비례-선형 특성, 등방성 특성

† 전장과 분극벡터의 선형적인 등방성 관계를 물질의 전화율(電化率) [eqn: chi _e]로 정의하면

[eqn: bold P ( bold r )= chi _e epsilon _0 bold E ( bold r )]	(6.23)

[eqn: bold D ( bold r ) = ( 1 + chi _e ) epsilon _0 bold E ( bold r )]	(6.23)을 식 (6.14)에 대입	(6.24)

† [eqn: 1 + chi _e] : 유전체의 비유전율 = [eqn: epsilon _r] : 비유전상수

[eqn: bold D ( bold r ) = epsilon_r epsilon _0 bold E ( bold r )]	(6.25)

† [eqn: epsilon_r epsilon _0] : 유전체의 유전율([eqn: epsilon])

[eqn: bold D ( bold r ) = epsilon bold E ( bold r )]	(6.26)

† 자유공간 전기 전화율 [eqn: chi _e = 0] (전기쌍극자가 없으므로)

즉, 자유공간의 비유전상수 : [eqn: epsilon _r = 1], 자유공간의 유전율 : [eqn: epsilon = epsilon _0]가 된다.

6.3 자기성 물질

† 유전체 물질이 원자(또는 분자) 레벨에서 단지 전기쌍극자(dipole)의 존재에 의하여 특성화되는 것과 같이 자성체는 자기쌍극자(dipole)의 존재에 의해 특성화 된다.

▣ 자기쌍극자 모멘트의 정의(그림 6.10)

† 자기쌍극자 모멘트 : 벡터[eqn: bold m] 으로 정의

† 벡터의 크기 : 전류와 루프면적의 곱(product) ([eqn: I~ pi {r^2}_0])

† 방향 : 원형 루프 평면에 수직

† 전류 [eqn: I~] : 전자의 궤도 운동에 의해 일어나고 구속전류로 간주

† 오른손법칙 : 엄지 → [eqn: bold m] 의 방향, 나머지 → 구속전류의 방향 지시

▣ 전기쌍극자와 자기쌍극자의 비교

† [eqn: {bold E}_a]내에 있는 하나의 전기쌍극자는 균일 면전하밀도([eqn: rho _s])에 의해 만들어진다.

† 회전력은[eqn: bold T = bold p times {bold E}_a]이고, 인가된 전장과 전기쌍극자 모멘트는 반대 방향

† 전장([eqn: r>> d])은 다음과 같다.

[eqn: bold E ( bold r ) SIMEQ Qd over {4 pi epsilon _0 r^3} [ 2 bold hat r cos( theta ) + hat theta sin ( theta )] = p over {4 pi epsilon _0 r^3}[2 bold hat r cos( theta ) + hat theta sin ( theta )]]

† [eqn: {bold B}_a]내에 있는 하나의 자기쌍극자는 균일 면전하밀도([eqn: {bold J}_s])에 의해 형성된다.

† 회전력은[eqn: bold T = bold m {bold B}_a]이고, 인가된 자장([eqn: {bold B}_a])와 자기쌍극자 모멘트에 평행

† 자장([eqn: r>> d])은 다음과 같다.

[eqn: bold B ( bold r ) SIMEQ { mu _0 I pi r^2} over {4 pi r^3} [ 2 bold hat r cos( theta ) + hat theta sin ( theta )] = { mu _0 m} over {4 pi r^3}[2 bold hat r cos( theta ) + hat theta sin ( theta )]]

6.2.5 자화벡터

▣ 거시적으로 정의된 자화벡터

† 자성체의 양[자화벡터,[eqn: bold M ( bold r )]]은 단위체적당 평균 쌍극자 모멘트로 정의

[eqn: bold M ( bold r ) = lim from { } {미소체적( delta V)내의~총~자기쌍극자 모멘트} over {delta V}]	(6.27)

† 단위체적당 원자의 수가 [eqn: n]일 때, 자화벡터

[eqn: bold M ( bold r ) = n bold m][[eqn: A/m]]	(6.28)

† 각 원자에 할당한 자기쌍극자 모멘트

[eqn: m = {bold M ( bold r )} over n][[eqn: A times m^2]]

† 진공상태에서는 원자가 없으므로 자화벡터=0

6.3.2 구속전류

▣ 표면을 통과하는 구속전류의 양을 계산

† 표면을 통과하는 전체 구속전류는 표면의 경계곡선을 둘러싼 구속전류의 합과 같다. 면의 경계곡선을 회전하는 구속전류의 합

[eqn: I_b = OINT_{ C_0} bold M ( bold r ) cdot d bold l]	(6.29)

▣ 활의 표적으로 간주되는 원자들

† 체적은 축 길이와 단면적의 곱(product)이다.

[eqn: 체적= pi {r^2}_0 cos ( theta ) TIMES dl]

† 표적을 맞출 횟수는 단위체적당 표적의 평균수([eqn: n])와 체적의 곱이다.

[eqn: 표적을~맞추는~횟수=n pi {r^2}_0 cos( theta ) times dl]

† 우변을 [eqn: I~A]로 나누고 곱하며, [eqn: d bold l]을 단위벡터를 가진 길이 [eqn: dl]로 놓고 정리하면

[eqn: 표적을~맞추는~횟수={n I pi {r^2}_0 cos( theta ) times dl} over I = {nmcos( theta ) dl} over I = LEFT [ 1 over I RIGHT ] bold M cdot d bold l]    (6.30)

† 즉,[eqn: I~A]의 구속전류는 다음과 같다.

[eqn: d I_b = I LEFT [ 암페어 over 표적 RIGHT ] times LEFT { LEFT [ 1 over I RIGHT ] bold M cdot d bold l RIGHT } 표적=bold M cdot d bold l ~암페어]

† 식 (6.29)는 폐곡선 [eqn: C_0]의 전체 범위를 초과한 적분으로 얻을 수 있다. 즉, 표면을 둘러싼 곡선을 회전하는 구속전류의 합을 설명한다.

▣ 자화 물질의 고려사항

† 자화벡터 [eqn: bold M ( bold r )]가 등가적으로 영(0)이 아니라면, 자화물질로 간주된다.

† 평면 [eqn: S_0]는 자화 물질의 바깥이기 때문에 주위를 회전하는 구속전류가 없다. 즉 [eqn: S_0]를 지나는 총 구속전류는 영이 되어야 한다.

† 자화 물질의 내부에 있고 평면 [eqn: S_0] 위에 있고 폐경로([eqn: C_i])를 가상하면

† 두 곡선 [eqn: C_e]와 [eqn: C_i] 사이의 [eqn: S_0]의 부분을 통해 위쪽으로 흐르는 구속전류의 양

[eqn: OINT_{ C_i} bold M ( bold r ) cdot d bold l] 이다.

† 그러나 [eqn: S_0]를 통과하는 총 구속전류는 영이기 때문에, 이 적분 값은 [eqn: C_i] 안에서 [eqn: S_0]의 부분을 통해 아래쪽으로 흐르는 구속전류의 양을 나타낸다.

▣ 구속면전류와 구속체적전류의 가시화

† 그림 6.14(c)에서, [eqn: C_i]와 [eqn: C_e] 사이에 있는 [eqn: S_0]의 부분이 좁은 띠의 형태로 된다면, 폐곡선 [eqn: C_i]는 넓어진다. 경로 [eqn: C_i] 주위의 [eqn: bold M ( bold r )]의 순환이 영이 아닌 값으로 존재한다면 좁은 띠를 통해 지면 위쪽으로 흐르는 구속전류는 자화 물질 외부의 구속면전류밀도 [eqn: {bold J}_sb ( bold r )]의 형태로 흐르게 되며, [eqn: C_i] 내부의 [eqn: S_0]의 부분을 통해 지면 안쪽으로 흐르는 전류는 구속체적밀도[eqn: {bold J }_b (bold r )]의 형태가 된다. 앞에서 언급한 것처럼, 구속면전류에 의해 발생되어 [eqn: S_0]면을 통해 흐르는 전류는 구속체적전류에 의해 상쇄된다.

▣ 자화에 의한 구속체적전류 밀도[[eqn: {bold J}_b ( bold r )]]

† 그림 6.15에서와 같이 자화물질의 내부에 작은 직사각형이 있다고 가정하고, 점 [eqn: a]는 직사각형의 중심이고 직사각형의 면적은 [eqn: x]축에 수직이라 하자. 이 사각형을 통해 양의 [eqn: x]방향으로 흐르는 총 구속전류의 양은 다음 식과 같다.

[eqn: delta I_b = OINT bold M ( bold r ) cdot d bold l]

† 그리고 점 [eqn: a]에서의 구속전류밀도의 [eqn: x]성분은 다음 식과 같다.

[eqn: J_bx = Lim from { delta S -> 0 } {delta I_b} over { delta S} = Lim from { delta S -> 0 } 1 over { delta S} OINT bold M ( bold r ) cdot d bold l]

† 여기서 [eqn: delta S]는 미소직사각형의 면적이고 극한은 직사각형이 점 [eqn: a]에 접근하는 것으로 구한다. 그러나 [eqn: delta S]는, 이 식의 우변이 자화벡터 회전(curl)의 [eqn: x]성분이므로

[eqn: J_bx = bold hat x cdot [ DEL times bold M ( bold r ) vert_point~a ]] 가 된다.

† 이 결과값을 자화 물체의 모든 점에서의 구속전류밀도의 각 방향성분을 포함하면 다음 식과 같다.

[eqn: {bold J}_b ( bold r ) = del times bold M ( bold r )]	(6.31)

▣ 자화에 의한 구속면전류밀도[[eqn: {bold J}_sb ( bold r )]]

† 점[eqn: a] : 자화물체의 겉면 [eqn: S_e] 위의 임의의 점

[eqn: hat n] : [eqn: S_e] 면위의 각 점에서 [eqn: S_e] 외부로 향하는 수직방향

[eqn: {bold hat n }_a] : 점 [eqn: a]에서 [eqn: hat n]의 값

[eqn: S_0] : 점[eqn: a]와 단위벡터[eqn: {bold hat n }_a]를 포함하는 무한개의 평면 중의 한 평면

[eqn: {bold hat n }_0] : [eqn: S_0]에 법선 방향

[eqn: C_e] : [eqn: S_0]와 [eqn: S_e]의 교차점에 의해 형성되는 곡선

† [eqn: C_e]에 따라 미소길이 [eqn: d bold l]을 가지는, 길이 벡터를 [eqn: dl]로 정의하면, [eqn: d bold l]의 방향에 있어서, 점 [eqn: a]에서의 [eqn: d bold l]의 방향은 [eqn: {bold hat n }_0 times {bold hat n }_a]에 평행 (그림 1.9 참조)

† [eqn: {bold hat n }_0]와 [eqn: d bold l] : [eqn: S_e]에 접선방향

[eqn: {bold hat n }_a] : [eqn: S_e]에 수직

[eqn: {bold hat n }_0],[eqn: {bold hat n }_a], [eqn: d bold l] : 세 개의 벡터는 상호 직교상태를 형성

†[eqn: {bold hat n } times d bold l] 방향의 단위벡터를[eqn: {bold hat n }_0 ']이라고 정의하면

[eqn: {bold hat n }_0 '],[eqn: d bold l]은 [eqn: S_e]에 접선 방향,[eqn: {bold hat n }_0 ']방향은 점 [eqn: a]에서[eqn: {bold hat n }_0] 방향 (그림 1.9 참조)

† [eqn: C_a] : 점[eqn: a]를 포함하는 [eqn: C_e]의 미소부분 그림 6.16(a)

[eqn: a_1],[eqn: a_2] : 미소부분의 양 끝점

† [eqn: +- h {bold hat n}_a]의 거리에 있는 평면 폐루프 ([eqn: C_1]-[eqn: C_12]-[eqn: C_2]-[eqn: C_21])

이 폐루프는 표면 [eqn: S_0] 위에 있고 자화물질의 내부 루프의 한 변([eqn: C_2])과 자화물질의 바깥쪽 전체에 있는 한 변([eqn: C_1]), [eqn: C_12]와 [eqn: C_21]면은 자화물질의 안쪽과 바깥쪽에 있으며 경로 [eqn: C_a]는 점 [eqn: a_1]에서 [eqn: a_2]까지 확장한 [eqn: C_e]의 일부분이다.

† 이 루프를 통해 흐르는 구속전류

[eqn: I_b = OINT bold M ( bold r ) cdot d bold l = INT _{ C_1} bold M ( bold r ) cdot d bold l + INT _{ C_12} bold M ( bold r ) cdot d bold l + INT _{ C_2} bold M ( bold r ) cdot d bold l + INT _{ C_21} bold M ( bold r ) cdot d bold l]

† [eqn: C_1]의 어느 점에서도 [eqn: bold M ( bold r )=0] (자화물질의 외부이므로) 따라서

[eqn: I_b = INT _{ C_12} bold M ( bold r ) cdot d bold l + INT _{ C_2} bold M ( bold r ) cdot d bold l + INT _{ C_21} bold M ( bold r ) cdot d bold l]

† [eqn: h]가 영에 접근하면 [eqn: C_12]와 [eqn: C_21]의한 적분값=0, [eqn: C_2]=[eqn: C_a] 이므로

[eqn: Lim from { h -> 0 } I_b =INT _{ C_2} bold M ( bold r ) cdot d bold l]	[eqn: Lim from { h -> 0 } I_b =INT _{ C_a } bold M ( bold r ) cdot d bold l]

† 구속표면전류밀도 [eqn: {bold J }_sb ( bold r )] :[eqn: {bold hat n }_0]에 따라 흐르는(평행한) 성분은 [eqn: C_a]를 가로질러 흐르고, [eqn: d bold l ~]에 따라 흐르는(평행한) 성분은 [eqn: C_a]를 따라 전류가 흐른다.

† 표면 전류량 계산에서 [eqn: C_a]를 따라 흐르는 전류는 고려되지 않는다 (내부이므로)

[eqn: Lim from { h -> 0 } I_b =INT _{ C_a} {bold J}_sb ( bold r ) cdot {bold hat n}_0 ' dl=INT _{ C_a} {bold J}_sb ( bold r ) cdot [{bold hat n} times d bold l]]

[eqn: =INT _{ C_a} [ {bold J}_sb ( bold r ) cdot {bold hat n}] cdot d bold l]

† 루프를 통해 흐르는 구속전류에 대한 두 식은 같으므로

[eqn: INT _{ C_a} [ bold M ( bold r ) + {bold J}_sb ( bold r ) cdot {bold hat n}] cdot d bold l=0]

† [eqn: bold M ( bold r )]=[eqn: {bold M}_n ( bold r )] +[eqn: {bold M}_tan ( bold r )]라 정의하면

[eqn: {bold M}_n ( bold r ) = [ bold M ( bold r ) cdot bold hat n ] bold hat n]

[eqn: {bold M}_tan ( bold r )= bold M ( bold r ) - {bold M}_n ( bold r ) = bold M bold ( r ) - [ bold M ( bold r) cdot {bold hat n}] bold hat n]

† [eqn: {bold M}_n ( bold r )] : [eqn: S_e]에 수직=0, [eqn: {bold M}_tan ( bold r )] : [eqn: S_e]에 접선방향

[eqn: INT _{ C_a} [ bold M ( bold r ) + {bold J}_sb ( bold r ) times bold hat n ] cdot d bold l= INT _{ C_a} [ {bold M}_n ( bold r ) + {bold M}_tan ( bold r ) + {bold J}_sb ( bold r )times bold hat n ] cdot d bold l]

[eqn: = INT _{ C_a} [ {bold M}_tan ( bold r ) + {bold J}_sb ( bold r ) times bold hat n ] cdot d bold l =0]     (6.32)

[eqn: {bold M}_tan ( bold r ) = - {bold J}_sb ( bold r ) times bold hat n]

▣ 점 [eqn: a]에서 [eqn: {bold M}_tan ( bold r ) = - {bold J}_sb ( bold r ) times bold hat n] 이어야 하는가?~~~~~~~~~~~~~~~~~~

† 자화벡터 [eqn: {bold M}_n ( bold r )]의 수치값으로 점 [eqn: a]에서 [eqn: {bold J}_sb ( bold r )]를 구하기 위한 특별한 공식을 표현하기 위하여, 식 (6.32)를 다시 표현하면

[eqn: INT _{ C_a } LEFT { [ {bold M}_tan ( bold r ) + {bold J}_sb ( bold r ) times bold hat n ~ ] cdot bold hat t ~ RIGHT }dl = 0]	(6.33)

† 여기서 [eqn: bold hat t] 은 [eqn: d bold l]방향의 단위벡터이고 점 [eqn: a]를 포함한 적분 경로의 모든 점에서 표면 [eqn: S_e]에 접선방향이어야 한다. 식 (6.33)으로부터 다음과 같이 쓸 수 있다.

[eqn: INT _{ C_a } LEFT { [ {bold M}_tan ( bold r ) cdot bold hat t ~ RIGHT }dl = - INT _{ C_a } [ {bold J}_sb ( bold r ) times bold hat n ) cdot bold hat t ~] dl]

† 이 식에서 적분은 점 [eqn: a]에서 연속이라면, 1장의 1.5.4 절에서 나온 내용이 다음 식과 같이 명확하게 된다.

[eqn: [ {bold M}_tan ( bold r ) cdot bold hat t ~] = - [ ( {bold J}_sb times bold hat n ~) cdot bold hat t ~]]	(6.34)

† 여기에서는, 그림 6.16의 표면 [eqn: S_0]가 표현 가능한 무수한 표면 중의 하나이며 [eqn: S_0]가 점 [eqn: a], 벡터 [eqn: {bold hat n}_a]을 포함하며 자화물질을 완전히 통과한다는 조건으로 제한된다는 것을 상기함이 중요하다. [eqn: S_0](이 동일한 조건을 가지는)에 대하여 다르게 선정함으로써, 점 [eqn: a]에서 단위벡터 [eqn: bold hat t] 은 점 [eqn: a]에서 [eqn: S_e]에 접하는 어떤 단위벡터로 볼 수 있다. [eqn: bold hat t] 방향에서 이와 같은 각도의 유동성에 의하여, 식 (6.34)는 점 [eqn: a]에서 [eqn: S_e]에 접하는 [eqn: {bold M}_tan ( bold r )]의 성분은 점 [eqn: a]에서 [eqn: S_e]에 접하는 [eqn: {bold J}_sb (bold r ) times bold hat n]의 성분에 크기가 같고 방향은 반대가 된다. 또 [eqn: {bold J}_sb (bold r ) times bold hat n]이 점 [eqn: a]에서  [eqn: bold hat n] 에 수직(그러므로 [eqn: S_e]에 수직)이어야 하므로, 식 (6.34)는 다음과 같다.

[eqn: {bold M}_tan ( bold r ) = - ( {bold J}_sb ( bold r ) times bold hat n ~)]	(6.35)

▣ 점 [eqn: a]에서 [eqn: {bold J}_sb (bold r )]의 값

† 식 (6.35)는 구속표면전류[[eqn: {bold J}_sb (bold r )]]와 자화 물체에 법선성분으로부터 자화벡터의 접선을 결정할 수 있다. 이러한 사실로 볼 때, 식 (6.35)의 더 유용한 형태는 [eqn: bold M ( bold r )]와 자화 물체의 법선성분에 의하여 [eqn: {bold J}_sb (bold r )]의 값을 결정할 수 있어야 한다. 간략하게 말하면, 점 [eqn: a]에서 구속면전류밀도를 식 (6.35)로 구할 수 있어야 한다. 점 [eqn: a]에서 식 (6.35)가 만족된다면, 이때

[eqn: bold hat n times {bold M}_tan ( bold r ) vert_point~a = - bold hat n times ( {bold J}_sb ( bold r ) times bold hat n ~) vert_poinr~a]

† 또는

[eqn: bold hat n times {bold M}_tan ( bold r ) vert_point~a = - {bold hat n}_a times [ {bold J}_sb ( bold r ) times bold hat n ~) vert_poinr~a ]]

[eqn: = - {bold hat n}_a times [bold hat n ~) vert_poinr~a times {bold J}_sb ( bold r )]]	(6.36)

이며 벡터의 3중적(product)은 다음과 같이 쓸 수 있다.

[eqn: - {bold hat n}_a times left { {bold J}_sb ( bold r ) vert_poinr~a times {bold hat n}_a right }]

[eqn: {bold J}_sb ( bold r ) vert_poinr~a ~[ - {bold hat n}_a cdot {bold hat n}_a ] - {bold hat n}_a [ - {bold hat n}_a cdot {bold J}_sb ( bold r ) vert_poinr~a ] = - {bold J}_sb ( bold r ) vert_poinr~a]

† [eqn: {bold J}_sb ( bold r )]과 [eqn: {bold hat n}_a]이 점 [eqn: a]에서 수직이기 때문이다. 식 (6.36)의 좌변은 다음과 같이 쓸 수 있다.

[eqn: {bold hat n }_a [ {bold M}_tan ( bold r ) ] vert_point~a = {bold hat n}_a times [ {bold M}_tan ( bold r ) ] vert_poin~a = {bold hat n}_a times [ bold M ( bold r ) ] vert_point~a]

† 점 [eqn: a]에서 [eqn: {bold hat n }_a times {bold M}_n ( bold r )=0]이므로 마지막 두 식을 식 (6.36)에 대입하면 다음과 같다.

[eqn: {bold J}_sb ( bold r ) = - {bold hat n}_a times bold M ( bold r ) = bold M ( bold r ) times {bold hat n}_a]	(6.37)

† 이 식은 [eqn: S_e]의 각 점에서 성립하므로

[eqn: {bold J}_sb ( bold r ) = bold M ( bold r ) times bold hat n] 이며

† [eqn: bold hat n] 은 폐곡면 [eqn: S_e]의 외부로 수직임을 나타낸다.

6.3.3 자장세기 벡터

† 전장 [eqn: bold E ( bold r )](전장의 세기)가 구속전하, 자유전하 또는 구속전하와 자유전하의 결합에 의해 발생되는 것과 같이, 자장 [eqn: bold B ( bold r )]는 구속전류, 자유전류(free current) 또는 구속전류와 자유전류의 결합에 의해 발생된다고 볼 수 있다.

[eqn: bold B ( bold r ) = INT {mu _0 I_f d bold l times bold hat R} over {4 pi R^2} + INT {mu _0 I_b d bold l times bold hat R} over {4 pi R^2}]	(6.38)

† 이 식은 식 (6.13)과 유사하게 자장으로 간주된다. 선전류 성분 [eqn: I_f ~d bold l]은 도선을 따라 진행하는 자유전류를 나타낸다. 그러나 전류성분은 자유면전류의 경우에서 [eqn: {bold J}_s ( {bold r} ' ) d v]로 대입할 수 있다. 구속전류의 경우에서, 지금까지 [eqn: I_b ~d bold l] 대신에 구속면전류 [eqn: {bold J}_sb ( {bold r} ' ) d s =bold M ( bold r ' ) times bold hat n ds] 또는 구속 체적전류 [eqn: {bold J}_v ( {bold r} ' ) d v = DEL times bold M ( bold r ' ) times bold hat n dv]로 대입할 수 있다. 자유전류와 자화 벡터장의 값이 주어진다면 식 (6.38)의 우변에 나타난 모든 양을 이론적으로 구할 수 있다는 것이다.

[eqn: bold B]와 [eqn: bold M]에 의한 자장세기 벡터

† 처음부터 자화를 모를 때 어떻게 해야되는지 알아보자. 유전체 물체에서, 전속밀도를 전장세기와 저닉분극 벡터에 의한 새로운 벡터로 도입함이 유용함을 알았다. 이 경우에서도 새로운 자장세기 벡터 [eqn: bold H ( bold r )]를 도입하기로 한다.

[eqn: bold H ( bold r ) = 1 over mu _0 bold B ( bold r ) - bold M bold ( bold r )]	(6.39)

† [eqn: bold H ( bold r )]의 단위는 미터당 암페어([eqn: A/m])이며, 이 새로운 벡터장은 다음과 같이 앙페르의 법칙을 만족시킨다는 것을 보여준다.

[eqn: OINT_{ C} bold H cdot d bold l = I_f]	(6.40)

† 여기서, [eqn: I_f]는 순환경로 [eqn: C]로 둘러싸인 자유전류의 총 양을 나타내고 이 결과를  얻는 과정은 [eqn: bold D ( bold r )]에 의하여 가우스의 칙을 얻는 과정과 비슷하다. 이 두 경우의 경우에 이용되며, 후자에서는 폐경로가 이용된다. 그림 6.18에 보여진 고체를 고려해 보자. 이것은 그림 6.16에서와 동일한 고체이고 다음과 같은 두 가지의 가정을 가진다.

1. 앞에서 이 물체는 자기물체로 이루어져 있다고 가정했다. 그러나 지금은  이 물체를 도체라고 가정한다. 이에 따라 같은 부가적 복잡성은 그림 6.18(a)에서와 같이 물체의 한쪽 입구로 자유전류([eqn: I_f] )가 들어가고 또 다른 출구로 전류가 나가는 것을 보여주고 있다.

2. 이 물체는 내부 공간을 가진다고 가정한다.

† 면 [eqn: S_0]는 자기물체를 자른 면이고 곡선 [eqn: C_e]는 면 [eqn: S_0]와 자기 물체의 겉면과의 교차점에 의하여 형성된다. 곡선 [eqn: C_1]은 면 [eqn: S_0]에 의한 또 다른 폐곡선으로 곡선 [eqn: C_1]의 모든 점은 자기물체의 외부이다.

† 그림 6.18(b)는 지면과 일치시키기 위하여 회전시킨 면 [eqn: S_0]를 가진 물체의 단면적을 나타낸다. 그림 6.18(b)에서, [eqn: S_0]와 빈 공간의 표면 사이 교차점에 의해 형성된 곡선은 페곡선 [eqn: C_v]로 나타내었다. 그리고 면 [eqn: S_0]에 위치하고 자기 물체 내부의 점들로 이루어진 부가된 폐곡선을 [eqn: C_2]로 표현하였다. 그림 6,18(b)의 어두운 부분은 자기물체 내부의 면 [eqn: S_0]를 나타내고 있다.

경우 1:자화 물질의 외부 폐곡선

† 그림에서 폐곡선이 [eqn: C_1]일 때, 식 (6.40)을 구하는데 쉽다. 자화 벡터는 곡선 [eqn: C_1]의 어느 곳에서나 영이다. 경로 [eqn: C_1]을 지나는 식 (6.39)의 양변의 적분은 다음과 같다.

[eqn: OINT_{ C_1} bold H cdot d bold l = 1 over mu _0 OINT_{ C_1} bold B cdot d bold l = 1 over mu _0 LEFT [ mu _0 ( I_f ~ + I_b ~ ) RIGHT ]]

† 여기서 [eqn: bold B ( bold r )]는 자유전류와 구속전류의 실효값을 포함한다. 그러나 [eqn: C_1]으로 둘러싸인 [eqn: S_0] 부분을 통해 지나는 총 구속전류는 영이므로, 앞의 식은 다음과 같이 된다.

[eqn: OINT_{ C_1} bold H cdot d bold l = 1 over mu _0 LEFT [ mu _0 ( I_f ~ + 0 ) RIGHT ] = I_f ~]

경우2:자화 물체의 물질내의 폐곡선

† 이 상태는 폐곡선 [eqn: C_2]가 사용될 때 더 복잡하다. 이 경우에, 자화벡터는 [eqn: C_2]의 각 점에서 없어지지 않으므로, 식 (6.39)의 순환적분은 다음과 같다.

[eqn: OINT_{ C_1} bold H cdot d bold l = 1 over mu _0 OINT_{ C_1} bold B cdot d bold l - OINT_{ C_2} bold M cdot d bold l]

† 윗식의 마지막 항 [eqn: OINT_{ C_2} bold M cdot d bold l]은 그림 6.16(c)에서와 같이 대체 자화 물질의 표면 위의 곡선 [eqn: C_2]를 통해 흐르는 면전류로 간주할 수 있으며, 대체 자기물질이 모든 점에서 자화 물질과 동일한 갑ㅇ르 가진 원래의 물질(동일한 자화 벡터를 가지는)과 구별되지 않는 다. 유전체에서도 동일한 개념(대체 유전체)이 이용됨을 상기하여라.

† 대체 자기 물질에 대한 식은 다음과 같다.

[eqn: - OINT_{ C_2} bold M cdot d bold l =-[ I_sb vert_Cv + I_b ~]]	(6.41)

† [eqn: S_0]를 통해 흐르는 총 구속 전류는 영이기 때문이다.(그리고 대체 자기물질의 총 구속전류는 곡선 [eqn: C_2]를 가로질러 흐르는 구속 표면전류 [eqn: I_sb vert_Cv]와 , 곡선 [eqn: C_v]를 가로질러 흐르는 [eqn: I_sb vert_C_2] 및 곡선 [eqn: C_2]와 [eqn: C_v] 사이의 [eqn: S_0] 부분을 통해 흐르는 구속체적전류 [eqn: I_b]로 이루어져 있다. 식 (6.41)의 오른쪽 두 항은 원래 자기물체에서 일어날 수 있으므로 식 (6.39)는 다음과 같다.

[eqn: OINT_{ C_2} bold H cdot d bold l = 1 over mu _0 OINT_{ C_2} bold B cdot d bold l - OINT_{ C_2} bold M cdot d bold l]

[eqn: = 1 over mu _0 [ mu _0 ( I_f ~ + I_sb vert_C_v + I_b ) ] - [ I_sb vert_Cv + I_b ] = I_f]

† 요약하면, 이절의 중요한 점은 폐경로에 대한 자장 [[eqn: bold B ( bold r )]]의 순환은 경로에 의해 둘러싸인  전류에 의하여 나타남을 증명하고 있다. 이때 전류는 자유전하에 의한 전류이거나 또는 구속전하에 의한 전류로 구성되나 자장세기 벡터 [eqn: bold H ( bold r )]는 오직 자유전류에 따라 결정되며 그 식은 다음과 같다.

[eqn: OINT_{ C_1} bold H ( bold r ) cdot d bold l = I_f]	(6.42)

[eqn: bold H ( bold r )]에 대한 앙페르의 법칙의 점형

† 식 (6.42)는 자장세기에 적용된 앙페르 법칙의 적분형이다. [eqn: C_1]으로 둘러싸인 표면을 관통하여 흐르는 자유전류 [eqn: I_f]가 전체적으로 분포체적전류로 이루어져 있을 때, 스토크스(stoke's)의 이론에 의하여 식 (.6.42)를 다음과 같이 쓸 수 있게 된다.

[eqn: INT _{ S_1} del times bold H ( bold r ) cdot d bold s = INT _{ S_1} bold J ( bold r ) cdot d bold s]

† [eqn: bold H ( bold r )]에 대한 앙페르 법칙의 미분형은 적분식에 의해 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

[eqn: del times bold H ( bold r ) = bold J ( bold r )]	(6.43)

† 여기서, [eqn: S_1]은 곡선[eqn: C_1]에 의해 둘러싸인 개방표면이다. 적분식을 등식으로 놓는 것은 [eqn: bold B bold ( r )] 대한 앙페르 법칙의 미분형과의 관계에서 이용한 것과 유사하다(4.4.5절 참조)

용어

† 전자공학에서, 이전에는 자장이라고 불려졌던 벡터 [eqn: bold B bold ( r )]는 지금부터는 자속밀도라고 한다. 자속이라는 용어의 의미로 이용할 때, 일반적으로 자속밀도의 표면적분을 나타낸다. 예를 들어, 다음 식과 같이 정의한 표면을 통해 흐르는 자속([eqn: PHI _m])의 양은

[eqn: z=0]

[eqn: -1 <= x <= 1]

[eqn: -1 <= y<= 1]

[eqn: PHI _m = INT _{ x=-1}^{ x=1} INT _{ y=-1}^{ y=1} bold B ( bold r ) cdot bold hat z dxdy]

† 자속밀도의 단위는 웨버(Weber:[eqn: Wb])이다. 전속 ([eqn: psi _e])의 경우에서 같이, 표면이 이 예제에서처럼 개방상태이거나 폐쇄상태에 관계가 없다. 그러나 폐곡선을 통해 흐르는 자속의 양을 구하려고 한다면, 폐표면을 지나는 [eqn: bold B ( bold r )]의 선속이 영이기 때문에 반드시 영이 된다.

6.3.4 자화율과 투자율

† 식 (6.39)는 세 벡터장 즉, 자속밀도 [eqn: bold B ( bold r )]와 자기장의 세기 [eqn: bold H ( bold r )]및 자화[eqn: bold M ( bold r )]의 관계식이다. 기하학적으로 식 (6.39)는 이들 세 가지의 벡터가 각 점 [eqn: bold r]에서 삼각형을 형성하는 조건과 같다. 그러므로 만약 이 세 벡터장 중에서 두 개의 벡터가 쌍선(Collinear)이라면(즉, 공통선으로 놓여 있다면), 식 (6.39)는 세 번째 벡터가 가른 두 개의 벡터와 동일선에 잇어야 한다는 것을 증명한다. 한 단계 더 나아가서, 만약 세 벡터 중 두 벡터 사이에 비례하는 스칼라 상수가 있다면 세 벡터장에 의하여 두 개의 벡터쌍에 비례한 스칼라 상수가 된다.

6.4 전기도체

† 유전체(절연체)와는 반대로, 도체는 전기적인 전하의 운동을 통해 전류를 흐르게 하는 매질이다. 도체는 고체(강철, 알루미늄, 구리), 액체(수은, 해수) 또는 기체(전리층, 번개0등으로 구성될 수 있다. 본절에서는 고체상태에서의 전류에 대하여 고려하기로 한다.

6.4.1 이동성과 전도성

† 균일 전장내에 잇는 한 고립된 대전된 입자는 뉴턴의 법칙에 의해 가속도는 전장에 비례하므로

[eqn: bold F = Q bold E = m bold a]

† 만약 이 가속도가 무한하다면, 속도는 결국에는 무한대가 될 것이다.

표류(drift)속도와 인가 전장 관계

† 도체내의 전장에 의해 대전입자와 운동은 도체 원자 구조에 의해 간섭받는다. 대전입자가 고체를 통해 움직이려고 할 때, 이 입자는 진행하면서 다른 전자입자와 충돌할 수 있고 에너지를 잃고 방향이 바뀔 수가 있으므로, 각 대전입자의 실제 경로는 산만하다. 그러나 평균적으로 입자는 전장에 대해 평행하게 진행(양의 전하인 경우)하거나 반대방향으로 진행(음의 전하인 경우)한다. 더욱이, 대전입자의 평균(또는 표류)속도는 전장에 비례하므로 음으로대전된 전자의 경우, 표류 속도와 전장 사이의 관계는 다음과 같다.

[eqn: {bold U}_e =-mu _e bold E]	(6.45)

† 비례상수 [eqn: mu _e]를 전자의 이동도라 한다. 이동도(mobility)의 단위는 전자의 단위로 나눈 속도의 단위로서 [eqn: m^2 / V-s]이다.

† 그림 6.19와 같이 도체 안에 작은 면이 있다 하자. 금속 도체는 많은 전자로 이루어져 있으며 이들 중의 얼마간은 핵에 빽백하게 싸여 있어 전장을 인가하더라도 흐르지 않으나 나머지 전자들은 이동이 자유스러워 전계에 의해 이동하는 자유전자의 움직임으로 도체에서 전류가 흐르게 된다. 단위체적당 이동하는 자유전자의 수는 세제곱미터당 전자의 수 [eqn: n_e]로 나타낸다.

도체 표면을 통해 흐르는 전류의 계산

† 그림 6.19(a)에서 미소시간 [eqn: delta _t] 동안 작은 면을 통해 흐르는 전하의 수를 계산하기 위하여, 그림 6.19(b)에서와 같이 벡터 [eqn: - {bold U}_e delta t]에 의해 표면 [eqn: S] 위의 모든 점이 이동된다고 생각하자. 표면 의 이동으로 늘어난 체적 내부의 모든 자유전자는 주어진 시간 간격([eqn: delta _t])내에 표면을 통해 흐르며, [eqn: S]의 이동에 의해 확대된 체적은

[eqn: 체적=S의~면적 times {bold U}_e delta t의~크기 times cos ( theta )]

[eqn: delta s bold hat n cdot {bold U}_e delta t = ( delta bold s cdot {bold U}_e ) delta t]

† 여기서, [eqn: delta s]는 면 [eqn: S]의 면적을 나타내고 [eqn: delta bold s]는 방향성을 가지는 면적 벡터이다. 체적내부의 이동 자유전자에 의한 쿨롬의 수는 다음과 같다.

[eqn: 쿨롬의~수=n_e q_e ( delta bold s cdot {bold U}_e) delta t]

† 여기서, [eqn: q_e]는 각 자유전자의 전하량이다. 식 (6.45)에 대입하면, [eqn: delta t]의 시간에서 면 [eqn: S]를 통해 흐르는 쿨롬의 수는 다음과 같다.

[eqn: 쿨롬의~수=- mu _e n_e q_e ( delta bold s cdot {bold E}) delta t]

† [eqn: S]를 통해 흐르는 전류는 단위시간당 [eqn: S]를 통해 흐르는 쿨롬의 수에 의하여 다음과 같다.

[eqn: I=-mu _e n_e q_e bold E cdot delta bold s]

† 이 방정식에서, 곱 [eqn: n_e q_e]는 이동 자유전하밀도 [eqn: rho _ve]를 나타내므로

[eqn: I = - rho _ve mu _e Bold E cdot delta bold s]

† 반면에, 전류밀도 [eqn: bold J]에 의한 [eqn: S]를 통해 흐르는 전류의 양은

[eqn: I = bold J cdot delta bold s]

[eqn: bold J = - rho _ve mu _e bold E = sigma bold E]	(6.46)

† 여기서, [eqn: sigma]는 도체의 도전율이고 이 경우에는 [eqn: - rho _ve mu _e]와 같다. 도전율의 단위는 전자응로 나눈 전류밀도의 단위로 [eqn: A/V-m]이다. 1[eqn: V/m]의 전장이 1 [eqn: A/m^2]의 전류밀도의 결과일 때, 도체는 1[eqn: A/V-m]의 전도율을 가진다고 말한다. 일반적으로 (또는 등가)도전율의 단위는 미터당 지멘스(.Seimen)로 [eqn: S/m]를 사용한다.

반도체에서의 전류흐름

† 반도체에서, 전류는 정공의 이동에 의해 흐른다. 이 정공들은 양의 전하입자로 간주된다. 정공이 무엇이고 어디서 왔는지의 확실한 이해는 양자역학을 잘 알아야 한다.(참고 문헌[2]). 정공에 따른 도전율은 [eqn: rho _vh mu _h]가 된다. 여기서, [eqn: mu _h]는 정공의 이동도이고, [eqn: rho _vh]는 정공의 전하밀도이다. 정공과 전자를 포함한 총 전류밀도는 다음과 같다.

[eqn: bold J = ( rho _vh mu _h - rho _ve mu _e )bold E = sigma bold E]

† 도전율 [eqn: sigma = ( rho _vh mu _h - rho _ve mu _e )]는 전하와 정공과 전자의 이동도의 함수이다.

6.4.2 연속 방정식(The Equation of Continuity)

† 표면을 통해 흐르는 전류의 기본적인 정의는 매초당 쿨롬의 수로 정의하였다. 그림 6.20과 같이 표면이 폐쇄되었을 때 무슨 일이 일어나는가를 고려하자. 만약 폐곡면 [eqn: S]를 통해 흐르는 총 전류가 영이 아니라면, 시간을 가지고 [eqn: S] 내부에 존재하는 전하 [eqn: Q]의 양이 증가(만약 순수 전류가 [eqn: S]로 흐르고 있다면)하거나 또는 감소(만일 순수 전류가 [eqn: S]의 바깥으로 흐르고 있다면)함을 의미한다. 이러한 관계는 시간 [eqn: t]의 순간에서

[eqn: d over dt Q(t) = I = OINT_{ S} bold J ( bold r , t ) cdot ( - bold hat n ) ds]

† [eqn: bold J ( bold r , t )]는 전류밀도를 위치 [eqn: bold r]와 시간 [eqn: t]의 함수로 변화됨을 의미한다.

† [eqn: S]면 안으로 흐르는 전류방향은  [eqn: +]로 고려되므로 바깥으로 향하는 법선단위 벡터 [eqn: bold hat n]은 부호를 앞에 놓았다. 앞으 식은 다음과 같다.

[eqn: OINT_{ S} bold J ( bold r , t ) d bold s = - d over dt Q ( t )]	(6.47)

† 이 식은 연속 방정식(적분형)이다.

연속방정식의 점형

† 식 (6.47)에서 전하 [eqn: Q(t)]는 시간 [eqn: t]에서 표면 [eqn: S]내부의 둘러싸인 총 전하를 나타낸다. 즉, [eqn: rho _v (r,t)]의 체적 전하밀도를 포함하는 도체에 대하여

[eqn: Q(t)= INT rho _v ( bold r, t ) dv]

[eqn: d over dt Q(t) = d over d INT rho _v ( bold r , t ) dv = INT PARTIAL over {PARTIAL t} rho _v ( bold r , t ) dv]

† 체적적분은 [eqn: S]의 내부 체적에 대하여 적분되므로 식 (6.47)에서 면적분은 발산정리를 이용하여 체적적분으로 바꿀 수 있다.

[eqn: OINT_{ S} bold J ( bold r , t ) cdot d bold s = INT DEL cdot bold J ( bold r , t ) d v]

† 식 (6.47)의 양변을 체적적분으로 나타낸다면, 식 (6.47)은 다음과 같이 쓸 수 있다.

[eqn: INT LEFT { del cdot bold J ( bold r , t ) + PARTIAL over { partial t } rho _v ( bold r , t ) RIGHT } dv =0]	(6.48)

† 벡터장의 발산은 스칼라장이 되므로 식 (6.48)의 피적분값은 두 스칼라장의 합으로 이루어져 있다. 만약, 전류밀도 [eqn: bold J ( bold r )]의 발산과 체적전하밀도의 시간 변화비가 충분하게 계속된다면 1장의 1.5.4절에서의 독립변수는 다음과 같이 적당하게 변경할 수 있다.

[eqn: del cdot bold J ( bold r , t )= partial over {partial t} rho _v ( bold r , t )]	(6.49)

† 이 식은 연속 방정식의 점형이다.

연속 방정식의 일반적인 의미

† 전류의 연속방정식 적분형 식 (6.47)은 수식을 다루면서 구하였지만 연속방정식은 어떤 재질을 체적에 넣을 때 순수비율(재료가 들어갈 때의 비-재료가 나갈 때의 비)은 재질이 체적내에 쌓이는 비와 같다는 일반적인 의미를 가진다. 여기서 언급한 재질은 단지 전하이며, 이 특별한 재질을 체적에 넣을 때, 순수비율에 대한 수학적인 표현은 체적 겉표면을 통과하는 전류밀도의 음(-)의 전속으로 나타내었다. 사실 전하에 대한 연속방정식과 유사한 식은 다른 환경에서도 적용시킬 수 있다.

† 분명히 우스꽝스러운 예로서, 그림 6.21(a)에서와 같이 □한 귀로 듣고 한 귀로 흘린다.□라는 속담을 고려하자. 이 속담을 문자 그래도 받아들이면 정보가 오른쪽 귀로 들어가서 왼쪽 귀로 나간다고 가정하자. 만약에 정보가 오른쪽 귀로 들어갈 때의 비가 왼쪽 귀로 나깔 때ㅐ의 비와 정확하게 같다면 정보가 축적될 수 있는 비는 0이다. 만일 왼쪽 귀를 막을 수 있다면, 수신된 모든 정보는 남겨질 것이다. 그러나 이것은 그림 6.21(b)와 같이 다른 생리학적인 효과를 가질 것이다.

† 이러한 예에도 불구하고 연속 방정식에 포함된 기본 상식은 거의 기본적이고 전자기학 이외의 다른 분야에서도 성립하고 있다.(예, 압축 가능한 유체의 흐름 [9])

도체내 체적 전하의 소멸

† 연속 방정식의 점형은 결과적으로 도체 내부의 체적 전하의 소멸을 예시한다. 이로써 전계의 항을 식 (6.49)로 다시 쓰면 다음과 같다.

[eqn: del cdot bold J ( bold r , t )=del cdot [ sigma bold E ( bold r , t )] = sigma del cdot bold E ( bold r , t ) = partial over {partial t } rho _v ( bold r , t )]	(6.50)

† 이때, [eqn: bold D ( bold r , t )]에 의한 [eqn: bold E ( bold r , t )]를 표현하고 가우스 법칙의 점형을 이용하여

[eqn: sigma del cdot bold E ( bold r , t ) = sigma over epsilon del cdot bold D ( bold r , t ) = {sigma rho_v (bold r , t )} over epsilon = - sigma over {sigma t } rho_v ( bold r , t )]	(6.51)

† 만일 어느 순간에서([eqn: t_0]) 전하밀도가 [eqn: rho_v (bold r , t )]로 주어질 때, 또 다른 시간에서 식 (6.51)의 해는 다음과 같다.

[eqn: rho_v ( bold r , t ) = rho _v ( bold r , t_0 )exp[ - sigma over epsilon ( t - t_0) ]]

† 정상상태 ([eqn: t~ -> INF])에서

[eqn: rho_v ( bold r , t )= Lim from { t -> inf } rho _v ( bold r , t_0 ) exp [ - sigma over epsilon ( t- t_0 )]=0]

† 결과적으로 도체에서 체적전하밀도가 사라진다는 것을 보여준다. 이것은 도체 내에서의 총 전하가 영이라는 것을 의미하지는 않는다. 왜냐하면 총 전하가 도체 외부의 면전하를 포함할 수 있기 때문이다.(다음의 논외에서 경계조건이 다루어질 것이다.)

6.4.3 라플라스 방정식의 정상상태 해

† 만일 전하밀도 [eqn: rho_v ( bold r , t )]가 정상상태에서 영으로 접근한다면, 정상상태에서 도체 내부의 전위는 라플라스 방정식의 해이다.

[eqn: del^2 V ( bold r )=0]

전위가 균일할 때의 해

† 라플라스 방정식의 해는 전위의 균일한 값을 요구함으로써 얻어진다. 즉, [eqn: V( bold r )]는 도체 내부의 각 점 [eqn: bold r]에 일정한 값을 가진다. [eqn: V( bold r )]가 균일할 때, 도체내의 전계는 전위의 변화분에 비례하므로 도체내의 전장은 동이랗게 0이 될 것이다. 전류밀도 ([eqn: bold J] )가 전계에 비례하기 때문에 균일 전위는 도체에서 각 점에 대하여 [eqn: bold J =0]의 결과를 얻을 수 있다. 이러한 조건하에서, 도체는 정적 등가상태라 말할 수 있으며 도체 표면 각 점에서의 전위는 동일 규일값을 갖게 될 것이다.(다름 말로 표현하면 도체 표면의 경계조건은 균일 디리클레(Dirichlet) 경계조건이다.)

전위가 균일하지 않을 때의 해

† 정상상태 전위 [eqn: V( bold r )]가 균일하지 않더라도 이것으 라플라스 방정식의 해를 구할 수 있다(앞장에서 본 바와 같이). 균일하지 않은 전위의 미분은 더이상 영이 아니므로 결과적으로 다음과 같이 도체에 흐르는 정상  그리고 지속된 전류밀도가 된다.

[eqn: bold J (bold r ) = sigma bold E ( bold r )=- sigma del V ( bold r )]

† 뒷절에서 (6.6.1절에서) 이 전류밀도가 도체의 저항성을 계산하는데 어떻게 사용될 수 있는지 알 수 있다.

6.5 경계조건

† 지금까지 균일한 전기적인 특성을 가진 물질을 살펴보았다. 그러나 서로 다른 전기적인 성질을 가진 두 개의 물질을 접촉시킨 경우가 있다. 이러한 예에서 물질 사이의 접촉은 접촉면을 구성하며 수학적으로 각각의 영역에서의 전장과 자장의 경계조건 식을 나타낼 수 있다.

경계조건의 특별한 경우에 대한 [eqn: {bold J}_sb ( bold r )]와 [eqn: rho_sb ( bold r )]의 수식

† 자성체와 유전체 물질의 경우에 자기성 물체의 외부에 구속면전류밀도의 예측과 유전체 물질의 외부에서 구속면전하밀도의 예측으로 다음 두 가지의 식을 구할 수 있다.

[eqn: {bold J}_sb ( bold r ) = bold M ( bold r ) times bold hat n]

[eqn: rho_sb ( bold r ) = bold P ( bold r ) cdot bold hat n]

† [eqn: rho_sb ( bold r )]에 대한 식을 구하기 위해 (그림 6.6)의 작은 체적에 대한 전기분극 벡터의 전속을 고려했으며 [eqn: {bold J}_sb ( bold r )]를 구하기 위해 그림 6.16의 작은 루프(Loop)에 대한 자장 벡터의 손환을 고려했다. 이 두 식을 구함으로써 [eqn: bold M ( bold r )]가 자기성 물질의 외부에서의 루프에 대해 영이라는 사실과 [eqn: bold P (bold r )]가 유전체 물체의 외부 표면에서 영이라는 사실을 이용했다. 전장과 자장에 대한 경계조건을 구할 때, 장이 경계의 양쪽에서 영(0)이라는 초기 가정없이 유사한 수학적인 과정을 수행할 것이다.

6.5.1 전속밀도와 자속밀도 벡터의 경계조건

† [eqn: bold E], [eqn: bold H], [eqn: bold D] 와[eqn: bold B] 에 대한 경계조건은 다음 4가시 방정식으로부터 직접 구해질 수 있다.

[eqn: OINT bold D ( bold r ) cdot d bold s = Q]

[eqn: OINT bold B ( bold r ) cdot d bold s = 0]

[eqn: OINT bold E ( bold r ) cdot d bold l = 0]

[eqn: OINT bold H ( bold r ) cdot d bold s = I]

† 위의 방정식은 맥스웰 방정식의 적분형태이다. 이 방정식의 첫 번째와 네 번째 방정식은 본장에서 구해지고 두 번째와 세 번째 방정식은 각각 3,4 장에서 구하였다.

† 전속과 자속밀도([eqn: bold D] 와[eqn: bold B] )에 대한 경계조건을 구하는 절차는 유전체의 표면상에서 의 구속면전하밀도의 관계를 구할 때 사용한 절차와 비슷하다.

전속밀도 [eqn: bold D ( bold r )]에 대한 경계조건

† 그림 6.22(a)에서와 같이 두 개의 서로 다른 물질 사이의 경계면을 고려해 보자. 경계면에서의 어떤 점을 a라 하자. 물질 1에 대하여 외부로 나가는 법선방향 벡터를 [eqn: {bold hat n}_1]이라 하고 [eqn: a]점에서의 법선방향 [eqn: {bold hat n}_1]의 특성값은 [eqn: {bold hat n}_1a]으로 표기하자. 표면 [eqn: S_a]는 점 [eqn: a]를 포함하는 경계의 일부이며 그림 6.22(b)에서 점 [eqn: a]를 포함하는 미소체적은 길이 [eqn: +- h {bold hat n}_1a]으로 [eqn: S_a]상의 각 점을 이동시키므로 형성된다. 이 체적의 겉면적은 세 가지, 즉 물질 1에서 표면 [eqn: S_1], 물질 2에서 표면 [eqn: S_2] 및 물질 1과 2에서 존재하□ 측면 [eqn: S_12]로 구성되어 나타낼 수 있다. 만약 [eqn: d bold s]가 외부로 향하는 법선에 의한 미소면적 벡터라면 가우스의 법칙에 의하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

[eqn: INT _{ S_1} {bold D}_1 ( bold r ) cdot d bold s + INT _{ S_2} {bold D}_2 ( bold r ) cdot d bold s + INT _{ S_12} {bold D}_12 ( bold r ) cdot d bold s = Q]

† 아래첨자 1과 2는 물질 1과 2에서 전속밀도의 값으로 표기하며, 전하 [eqn: Q]는 이 체적 내부의 자유전하이다. 그림 6.22(c)에서 높이를 영으로 접근시키면 측면 [eqn: S_12]는 영으로 된다. 높이가 영으로 접근함으로써, 비록 [eqn: S_2]상에서 [eqn: d bold s]가 [eqn: + {bold hat n}_1]의 방향으로 향하고 [eqn: S_1]상에서 [eqn: d bold s]가 [eqn: - {bold hat n}_1]방향으로 향한다 하더라도 표면 [eqn: S_1]과 [eqn: S_2]는 표면 [eqn: S_a]에 가까워지게 한다. 또 높이 [eqn: h]가 영에 접근함으로써 이 방정식의 우변에서의 전하는 물질 1과 2사이의 경계면의 중앙에 위치한 매우 얇은 층으로 한정된다. 이러한 조건에서 전하는 [eqn: S_a]상에 존재하는 면전하의 양으로써 표현될 수 있으므로

[eqn: Q= INT _{ S_a} rho _s ( bold r ) ds]

† 가우스의 법칙은 다음과 같이 된다.

[eqn: INT _{ S_a} {bold hat n}_1 cdot [ {bold D}_2 ( bold r ) - { bold D}_1 ( bold r ) ] ds = INT _{ S_a} rho _s ( bold r ) ds]

[eqn: INT _{ S_a} left{ {bold hat n}_1 cdot [ {bold D}_2 ( bold r ) - { bold D}_1 ( bold r ) ] - rho _s ( bold r ) right } ds = 0]

† 적분구간을 물질 1과 2 사이의 경계상에 연속적이라 하면 물질 1과 2사이의 경계의 † 각 점 [eqn: bold r]에

[eqn: {bold hat n}_1 cdot [ {bold D}_2 ( bold r ) - { bold D}_1 ( bold r ) ] - rho _s ( bold r ) = 0]

[eqn: {bold hat n}_1 cdot [ {bold D}_2 ( bold r ) - { bold D}_1 ( bold r ) ] = rho _s ( bold r )]	(6.52)

자속밀도에 대한 확대

† 다음 식

[eqn: OINT bold B ( r )cdotd bold s = 0]

† 그림 6.22(b)에서 같이 폐곡면에 대한 방정식을 적용하면

[eqn: INT _{ S_1} {bold B}_1 ( bold r ) cdot d bold s + INT _{ S_2} {bold B}_2 ( bold r ) cdot d bold s + INT _{ S_12} {bold B}_12 ( bold r ) cdot d bold s = 0]

† 높이 [eqn: h]를 영에 접근시키고 앞에서 논의한 전속밀도의 경계조건과 비교함으로써 경계의 각 점에서 다음의 수식을 구할 수 있다.

[eqn: {bold hat n}_1 cdot [ {bold B}_2 ( bold r ) - {bold B}_1 ( bold r ) ]=0]

6.5.2 전장과 자장세기 벡터의 경계조건

† 전장과 자장의 나머지 경계조건을 구하기 위한 절차는 자화 물질의 외부 표면상에서 구속면전류밀도의 표현을 구하기 위해 사용되는 절차와 비슷하다.

자장세기 [eqn: bold H ( bold r )]에 대한 경계조건

† 그림 6.23(a)에서와 같이 서로 다른 두 개의 물질 사이의 경계를 다시 고려해보자. 경계에서 어떤 점을 [eqn: b]라 하고 물질 1에서 외부로 법선 방향을 [eqn: {bold hat n}_1], 점 [eqn: b]에서 [eqn: {bold hat n}_1]의 값을 [eqn: {bold hat n}_1b]으로 표기하자. 평면 [eqn: S_0]는 점 [eqn: b]와 단위 벡터 [eqn: {bold hat n}_1b]을 포함하며 경계면과 [eqn: S_0]면의 교차에 의하여 점 [eqn: b]를 포함하는 곡선 [eqn: C_b]가 형성된다.

† 그림 6.23(b)에서 점 [eqn: b]를 포함하는 미소면은 [eqn: C_b]의 각 점을 [eqn: +- h{bold hat n}_1b]의 거리만큼 이동시킴으로써 발생된다. 이 표면을 경계하는 폐곡면 방향의 곡선은 네 부분으로 구성되 나타낼 수 있다. 즉, 물질 1에서 [eqn: C_1]부분, 물질 2에서 [eqn: C_2]부분, 두 가지 물질에서 각들을 포함하는 [eqn: C_12]와 [eqn: C_21]의 두 부분이다. 만약 [eqn: d bold l]이 그림 6.23(b)에서 경계곡선에 따르는 미소길이라면 앙페르의 법칙을 적용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

[eqn: INT _{ C_1} {bold H}_1 ( bold r ) + INT _{ C_12} {bold H}_12 ( bold r ) + INT _{ C_2} {bold H}_2 ( bold r ) + INT _{ C_21} {bold H}_21 ( bold r ) = I]

† 아래첨자 1과 2는 각각 물질 1과 2에서의 자장세기 벡터값을 정의하는데 사용된다. 전류 [eqn: I]가 그림 6.23(b)에 나타난 표면을 통해 흐르는 자유전류를 나타낸다. (오른쪽 법칙으로부터, 전류가 그림 6.23(b)에는 나타나지 않았지만 전류가 표면의 앞쪽에서 뒤쪽으로 흐를 때 전류는 정방향으로 간주한다.)

† 그림 6.23(c)에서 높이가 영으로 접근함으로써, 선분 [eqn: C_12]와 [eqn: C_21]으 영에 접근하며 선분 [eqn: C_1]과 [eqn: C_2]는 선분 [eqn: C_b]에 접근한다. 비록 [eqn: C_2]에서 미소거리 [eqn: d bold l]의 방향이 [eqn: C_b]에서 [eqn: d bold l]과 같은 방향이라도 [eqn: C_1]의 미소거리 벡터 [eqn: d bold l]의 방향으 반대방향이 된다. 그 결과 높이가 영에 접근할 때, 앙페르의 법칙은 다음과 같이 된다.

[eqn: OINT_{ C_b} [ {bold H}_2 ( bold r ) - {bold H}_1 ( bold r )] cdot d bold l]

† 더욱이, 높이 [eqn: h]가 영에 접근할 때, 이 식의 우변의 전류는 [eqn: C_b]에 중심을 가지는 매우 얇은 선에 흐르는 전류이다. 이러한 상황에서 폐전류는 [eqn: {bold hat n}_1 times d bold l] 방향으로 [eqn: C_b]를 가로질러 흐르는 면전류의 양을 나타내므로

[eqn: I = INT _{ C_b} {bold J}_s ( bold r ) cdot [ {bold hat n}_1 times d bold l ] = INT _{ C_b} [ {bold J}_s ( bold r ) times {bold hat n }_1 ] cdot d bold l]

† 앙페르의 법칙은 다음과 같이 된다.

[eqn: INT _{ C_b} [ {bold H}_2 ( bold r ) - { bold H}_1 ( bold r ) - {bold J}_s ( bold r ) times {bold hat n}_1 ] cdot d bold l = 0]	(6.53)

† 식 (6.53)의 적분항에서 경계조건식을 구하기 위해서 경계의 각 면에서 자장세기 [[eqn: {bold H}_2 ( bold r )]와 [eqn: {bold H}_1 ( bold r )] ]는 아래와 같이 접선성분과 법선성분으로 나눌 수 있다.

[eqn: {bold H }_2 ( bold r ) = {bold H }_2n ( bold r ) + {bold H }_{2~tan} ( bold r )]

[eqn: {bold H }_1 ( bold r ) = {bold H }_1n ( bold r ) + {bold H }_{1~tan} ( bold r )]

† 여기서

[eqn: {bold H }_2n ( bold r ) = [{bold H }_2 ( bold r ) cdot {bold hat n}_1 ] {bold hat n}_1]

[eqn: {bold H }_{2~tan} ( bold r ) = {bold H }_2 ( bold r ) - {bold H}_2n (bold r )]

[eqn: {bold H }_1n ( bold r ) = [{bold H }_1 ( bold r ) cdot {bold hat n}_1 ] {bold hat n}_1]

[eqn: {bold H }_{1~tan} ( bold r ) = {bold H }_1 ( bold r ) - {bold H}_1n (bold r )]

† (접선성분과 법선성분으로 나눈 것은 자화 벡터로부터 구속면전류밀도에 대한 식을 얻는 데 이용됨을 상기하여라) 법선성분 [eqn: {bold H }_2n ( bold r )]와 [eqn: {bold H }_1n ( bold r )]는 항상 [eqn: d bold l]에 수직이므로 식 (6.53)은 다음과 같이 된다.

[eqn: INT _{ C_b} [ {bold H}_{2~tan} ( bold r ) - {bold H}_{1~tan} ( bold r ) - {bold J}_s ( bold r ) times {bold hat n}_1 ] cdot d bold l = 0]

† 만약 물질 1과 2 사이의 경계를 따라 [eqn: bold r]가 계속적으로 변하는 것과 같이 적분구간이 연속이라면 적분구간은 경계의 각 점에서 영이 되어야 하므로

[eqn: {bold H}_{2~tan} ( bold r ) - {bold H}_{1~tan} ( bold r ) = {bold J}_s ( bold r ) times {bold hat n}_1]	(6.54)

† 이며, 첫 단계로 [eqn: {bold hat n}_1]으로 식 (6.54)의 양변에 크로스를 취하면

[eqn: {bold hat n}_1 times [ {bold H}_{2~tan} ( bold r ) - {bold H}_{1~tan} ( bold r ) ] = {bold hat n}_1 [ {bold J}_s ( bold r ) times {bold hat n}_1 ] = {bold J}_s ( bold r )]

† 가 되며, 경계상의 각 점에서 자장세기의 경계조건을 나타낸다. 이 경계조건은 [[eqn: {bold H}_2 ( bold r ) - {bold H}_1 ( bold r )]]를 [[eqn: {bold H}_{2~tan} ( bold r ) - {bold H}_{1~tan} ( bold r )]]로 대입함으로써 간략화할 수 있다.

[eqn: {bold hat n}_1 times [ {bold H}_2 ( bold r ) - {bold H}_1 ( bold r )]={bold hat n}_1 times [ {bold H}_{2~tan} ( bold r ) - {bold H}_{1~tan} ( bold r )]+{bold hat n}_n times [ {bold H}_2n ( bold r ) - {bold H}_1n ( bold r )]]

[eqn: = {bold hat n}_1 times [ {bold H}_{2~tan} ( bold r ) - {bold H}_{1~tan} ( bold r )] + 0]

† 이와 같은 조건에 의하여 경계조건을 다음과 같이 표현한다.

[eqn: {bold hat n}_1 times [ {bold H}_{2} ( bold r ) - {bold H}_{1} ( bold r )] = {bold J}_s ( bold r )]

전장세기 [eqn: bold E ( bold r )]에 대한 경계조건 적용

† 그림 6.23(b)에서와 같은 차단 폐경로에 대한 방정식을 쉽게 적용할 수 이TEk.

[eqn: OINT bold E ( bold r ) cdot d bold l = 0]

† 이 경우에서, 다음 식을 얻을 것이다.

[eqn: INT _{ C_1} {bold E}_1 ( bold r ) cdot d bold l + INT _{ C_12} bold E ( bold r ) cdot d bold l + INT _{ C_2} {bold E}_2 ( bold r ) cdot d bold l + INT _{ C_21} bold E ( bold r ) cdot d bold l = 0]

† 높이 [eqn: h]를 영에 접근하도록 함으로써, 경계면에서의 각 점에 대하여 다음 식을 구하기 위해 자장세기의 경계조건에 대한 분석을 적용하면

[eqn: {bold hat n}_1 times [ {bold E}_2 ( r ) - {bold E}_1 ( bold r ) ] = 0]

경계조건의 요약

† 다음 형태의 맥스웰방정식으로부터 시작하여

[eqn: OINT bold D ( bold r ) cdot d bold s = Q]

[eqn: OINT bold B ( bold r ) cdot d bold s = 0]

[eqn: OINT bold E ( bold r ) cdot d bold l = 0]

[eqn: OINT bold H ( bold r ) cdot d bold s = I]

† 다음의 경계조건은 매질 1과 2 사이 경계면의 점 [eqn: r]에 적용하여 구하였다.

[eqn: {bold hat n}_1 cdot [ {bold D}_2 ( bold r ) - {bold D}_1 ( bold r ) ] = rho _s]

[eqn: {bold hat n}_1 cdot [ {bold B}_2 ( bold r ) - {bold B}_1 ( bold r ) ] = 0]

[eqn: {bold hat n}_1 cdot [ {bold H}_2 ( bold r ) - {bold H}_1 ( bold r ) ] = {bold J}_s ( bold r )]

[eqn: {bold hat n}_1 cdot [ {bold E}_2 ( bold r ) - {bold E}_1 ( bold r ) ] = 0]	(6.55)

† 전장, 자장세기 벡터 또는 전속, 자속 벡터에 의한 경계조건

† 비투자율과 비유전율을 사용하여, 경계조건은 다음과 같은 전장, 자장세기 벡터로 표현될 수 있다.

[eqn: {bold hat n}_1 times [ {bold H}_2 ( bold r ) - {bold H}_1 ( bold r ) ] = {bold J}_s ( bold r )]

[eqn: {bold hat n}_1 times [ {bold E}_2 ( bold r ) - {bold E}_1 ( bold r ) ] = 0]

[eqn: {bold hat n}_1 times [ epsilon_r2 {bold E}_2 ( bold r ) - epsilon_r1 {bold E}_1 ( bold r ) ] = {rho _s ( bold r )} over epsilon _0]

[eqn: {bold hat n}_1 times [ mu_r2 {bold H}_2 ( bold r ) - mu_r1 {bold H}_1 ( bold r ) ] = 0]	(6.56)

† 또는 완전하게 전속, 자속밀도 벡터에 의하여 다음과 같다.

[eqn: {bold hat n}_1 times [ (1/mu_r2 ) {bold B}_2 ( bold r ) - (1/mu_r1 ) {bold B}_1 ( bold r ) ] = mu _0 {bold J}_s ( bold r )]

[eqn: {bold hat n}_1 times [ (1/epsilon_r2 ) {bold D}_2 ( bold r ) - (1/epsilon_r1 ) {bold D}_1 ( bold r ) ] = 0]

[eqn: {bold hat n}_1 times [ {bold D}_2 ( bold r ) - {bold D}_1 ( bold r ) ] = rho _s ( bold r )]

[eqn: {bold hat n}_1 times [ {bold B}_2 ( bold r ) - {bold B}_1 ( bold r ) ] = 0]	(6.57)

매질 1이 도체인 특별한 경우

† 만일 매질 1이 정적 등가상태의 도체라면, 전장은 매질 1내 각 점에서 영(0)이 되어야 한다. 만일 매질 1에서 전장이 영이면, 매질 1에서 전속밀도는 또한 영이다.그러므로 경계조건은 다음과 같다.

[eqn: {bold hat n}_1 times [ {bold E}_2 ( bold r ) - {bold E}_1 ( bold r ) ] = 0]

[eqn: {bold hat n}_1 times [ {bold D}_2 ( bold r ) - {bold D}_1 ( bold r ) ] = rho _s]

† 간략하게,

[eqn: {bold hat n}_1 times [ {bold E}_2 ( bold r ) ] = 0]

[eqn: {bold hat n}_1 times [ {bold D}_2 ( bold r )] = rho _s]	(6.58)

† 가 된다. 물리적으로 [eqn: {bold E}_2]에서 경계조건은 전장의 접선성분 도체의 표면에서 없어진다는 것을 나타내며 [eqn: {bold E}_2]의 법선 성분은 다음 식과 같기 때문에 영이 될 필요는 없다는 것을 의미한다.

[eqn: {bold hat n}_1 times {bold E }_2n ( bold r ) = {bold hat n}_1 times left { {bold hat n}_1 [ {bold E }_2 ( bold r ) cdot {bold hat n}_1 ] right } = [ {bold hat n}_1 times {bold hat n}_1 ] E_2n ( bold r ) =0]

† 이 식은 스칼라장(field) [eqn: E_2n ( bold r )]의 수치에 상관없이 자동적으로 만족된다. [eqn: {bold E}_2 ( bold r )]의 법선성분이 영이 아닌 값은 다음 식과 같이 전속밀도의 경계조건을 통해 도체상의 면전하밀도에 관계됨을 알 수 있다.

[eqn: {bold hat n}_1 cdot [ {bold D}_2 ( bold r ) ] = {bold hat n}_1 cdot [ epsilon_r2 epsilon_0 {bold E }_2 ( bold r ) ] = rho _s]

† 또는

[eqn: E_2n ( bold r ) = rho _s over { epsilon _r2 epsilon_0}]

6.6 전기회로소자

† 전형적인 전기회로소자는 저항, 커패시터 및 인덕터이다. 이들 각각은 소자의 종단 전압(전위차)과 소자를 통해 흐르는 전류 사이에 연관성이 있다. 예를 들어 그림 6.24에서 만약 소자가 저항이라면 저항 양단에 걸리는 전위차와 저항을 통해 흐르는 전류 사이의 관계는 옴(Ohm)의 법칙에 의해 다음과 같이 주어진다.

[eqn: V(t) = I(t) R]	(6.62)

† 여기서 [eqn: R]는 저항기의 저항이다. 만약 소자가 커패시터이면

[eqn: I(t) = C dv(t) over dt]	(6.63)

† 여기서 [eqn: C]는 커패시터의 정전용량이고 만약 소자가 인덕터이면

[eqn: V(t)= L dI(t) over dt]	(6.64)

† 여기서 [eqn: L]은 인덕터의 인덕턴스가 된다.

† 앞으로 세 개의 저에서는 정전장과 정상자장에서 저항, 정전용량, 인덕턴스의 계산에 대하여 논할 것이다.

6.6.1 저항

† 그림 6.25(a)와 같이 도전율([eqn: sigma] )을 가지는 도체를 고려하자. 도체의 양단은 [eqn: 0V]의 전위점을 종단 0으로 [eqn: V_10 ~V]의 전위에서 종단 1을 형성하며 각각의 종단에서는 등전위면으로 간주된다. 이러한 제약은 도체내의 전위 [eqn: V ( bold r )]에 대한 디리클레 경계조건(dirichlet boundary condition)으로 볼 수 있다.

도체의 옆면에서의 동질 노이만(Neumann) 경계조건

† 도체의 옆면을 수직 벡터 [eqn: bold hat n]을 가지는 표면 [eqn: S_T]라 간주하자. [eqn: S_T]와 연결된 전도 경로가 없으므로 이면을 통해 전류가 흐른다고 생각하지는 않는다. 그러므로 [eqn: S_T]의 각 점에서 전류밀도 [eqn: bold J ( bold r )]는 [eqn: S_T]에 접선이다. 만약 [eqn: bold J ( bold r )]가 [eqn: S_T]에 접선이라면,

[eqn: 0= bold ( bold r ) cdot bold hat n = sigma bold E ( bold r ) cdot bold hat n = - sigma [ del V ( bold r ) cdot bold hat n ] = - sigma partial over partialn V ( bold r )]

† 이며, [eqn: S_T]의 각 점에서

[eqn: sigma partial over partialn V ( bold r ) = 0]

† 이다. 이 식은 도체 내에서의 전위 [eqn: V ( bold r )]에서의 동질 노이만 경계조건을 설명한다.

[eqn: V_10 = 1 V]일 때의 라플라스 방정식의 해

† 임시적으로 두 종단 사이의 전위차를 [eqn: 1 V]라고 가정하자. 도체내에서의 전위를 [eqn: f( bold r )]로 나타내면 이 전위차는 아래요건을 만족시켜야 한다.

[eqn: del^2 f ( bold r ) =0](도체 내부에서)

[eqn: f( bold r ) = 1](종단 1에서)

[eqn: f( bold r ) = 0](종단 0에서)

[eqn: partial over partialn f ( bold r ) = 0](표면 [eqn: S_T]에서)

† 이와 같은 해는 유일해 임을 이미 앞장에서 배웠다.

도체의 다양하나 단면을 통한 전류흐름

† 그림 6.25(b)에서 도체를 통과하는 두 개의 표면을 생각하자. 영역([eqn: S_1]과 [eqn: S_2])는 도체의 단면이며, 이 단면을 통해 흐르느 전체전류는

[eqn: I_1 = INT _{ S_1} bold J ( bold r ) cdot d bold s]

[eqn: I_2 = INT _{ S_2} bold J ( bold r ) cdot d bold s]

† 이며, [eqn: S_1]과 [eqn: S_2]에서 [eqn: d bold s]의 방향은 [eqn: I_1]과 [eqn: I_2]에 대한 양의 값을 가지도록 선택한다. 이 두 전류에서 불균형은 [eqn: S_1]과 [eqn: S_2]사이에서 전류의 연속방정식에 의하여 도체의 부분에서 축적되거나 고갈되는 원인이 되므로 전류 [eqn: I_1]과 [eqn: I_2]는 같아야 하며 전하의 축적이나 고갈은 정상상태의 해와 일치하지 않는다. 그러므로 만약 [eqn: S]평면이 도체의 어떤 단면이 라면 [eqn: V_10 = 1 V]의 인가된 전위차를 가지는 도체를 통해 흐르는 전체 전류는

[eqn: I= INT _{ s} bold J ( bold r ) cdot d bold s = INT _{ S } sigma bold E ( bold r ) cdot d bold s = - sigma INT _{ S } del f ( bold r ) cdot d bold s]

† 이다. 그림 6.25(c)에서 종단 영(0)은 [eqn: 0V]의 절대전위를 유지하지 않으며, 이 경우 라플라스 방정식의 해는 간단히 6.25(a)에 나타난 경계조건을 만족하는 라플라스방정식의 해에 상수 [eqn: V_x]를 더하여 구할 수 있다. 이와 같이 상수항을 추가시키는 것은 도체의 종단 사이의 전위차나 도체를 통하는 한 전류의 분배에 영향을 미치지 않을 것이다. 왜냐하면 전류밀도는 단지 전위의 변화분(gradient)을 포함할 뿐이기 때문이다.

도체의 컨덕턴스의 정의와 이용

† 도체의 컨덕턴스 [eqn: G]는 인가 전위차 [eqn: 1V]일 때 도체를 통하는 전류의 합으로 정의된다. 즉,

[eqn: G= - sigma INT _{ S } del f ( r ) cdot d bold s]

† 이다. 컨덕턴스의 단위는 모(mho : [eqn: MHO]로 나타냄)이며, 도체는 만약 [eqn: 1V]의 전위차에 작용한다면 1[eqn: MHO]의 컨덕턴스를 가진다고 할 수 있다. 컨덕턴스의 또 다른 단위는 지멘스([eqn: S]로 나타냄)이다.

† 컨덕턴스([eqn: G])의 도체가 [eqn: V_10 V] 인가 전위차[그림 6.25(a)와 6.25(c)에서 [eqn: V_10]은 더 이상 [eqn: 1V]라 가정할 수 없다]에 따라 결정된다면, 도체 내부의 전위에 대한 라플라스방정식의 해는 다음 식과 같다.

[eqn: V( bold r ) = V_10 f ( bold r )]

† 이때

[eqn: del^2 V_10 f ( bold r ) = V_10 del^2 f (bold r )=0](도체 내부)

[eqn: V_10 f ( bold r ) = V_10](단자 1에서)

[eqn: V_10 f ( bold r ) = 0](단자 0에서)

[eqn: partial over partialn [ V_10 f ( bold r ) ] = V_10 partial over partialn [ f ( bold r ) ] = 0](면 [eqn: S_T]에서)

† 도체를 통해 흐르는 전류 [eqn: I]는 다음 식으로부터 구할 수 있다.

[eqn: I = INT _{ S } bold J ( bold r ) cdot d bold s = INT _{ S } sigma bold E ( bold r ) cdot d bold s = - V_10 sigma INT _{ S } del f ( bold r ) cdot d bold s = V_10 G]	(6.65)

† [eqn: V_10]은 도체의 양 끝단 사이의 전위차를 나타냄을 알 수 있으며, 도체의 컨덕턴스를 이용하여, 주어진 전위차에 따라 도체에서 흐르는 전류는 도체 속의 전위의 세부적인 동작을 알아내는 라플라스방정식의 해를 풀지 않고 계산할 수 있다.

컨덕턴스는 저항의 역수

† 전류와 관련하여 [eqn: V_10] 전위차에 대해 식 (6.65)를 풀면

[eqn: V_10 = 1 over G I = R I]	(6.66)

† 이다. 이식은 옴의 법칙의 형태이며, [eqn: R]는 도체의 저항이고 옴([eqn: OMEGA] )의 단위를 가지며 도체의 저항은 다음 식과 같다.

[eqn: R = 1 over G = 1 over { - sigma INT _{ S } del f ( bold r ) cdot d bold s }]	(6.67)

도체의 저항에 관한 교환 공식

† 식 (6.67)은 도체 양단의 전위차가 [eqn: 1V]일 때에 라플라스방정식의 해 [eqn: f ( bold r )]에 기반을 두었다. 일반적인 조건(도체에 걸리는 전위차가 [eqn: V_10]일 때)에서 저항에 대한 표현식 (6.67)을 다시 쓰면

[eqn: R = V_10 over V_10 times 1 over { - sigma INT _{ S } del f ( bold r ) cdot d bold s } =V_10 over { - sigma INT _{ S } del V_10 f ( bold r ) cdot d bold s }]

† 또는

[eqn: R = { V ( bold r ) vert_{terminal~1} - V ( bold r ) vert_{terminal~0} } over { - sigma INT _{ S } [ del f ( bold r ) V ( bold r ) ] cdot d bold s }]	(6.68)

† 이다. [eqn: V ( bold r ) vert_{terminal~1}]과 [eqn: V ( bold r ) vert_{terminal~0}]는 종단 1과 0에서의 전위함수의 값이며 두 단자에서의 일정한 값을 가지도록 라플라스방정식의 해 [eqn: V ( bold r )]가 주어지고 도체의 옆면에서 동질 노이만 경계조건을 만족할 때 식 (6.68)은 도체의 저항성을 구할 때 사용된다. 전계와 절대전위 사이의 관계에 의하여, 식 (6.68)은 다음 식과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: R = { INT _{ terminal~0 }^{ terminal~1 } bold E ( bold r ) cdot d bold l } over { sigma INT _{ S } bold E ( r ) cdot d bold s }]	(6.69)

6.6.2 정전용량

† 그림 6.28(a)와 같이 분리된 두 도체가 [eqn: 0 V]의 절대전위를 가지고 유전체를 내포하고 있다고 생각하자. 도체 1의 외부는 폐곡면 [eqn: S_1]이고 도체 2의 외부는 폐곡면 [eqn: S_2]이다. 도체가 [eqn: 0 V]를 유지하고 있는 한 도체 외부의 영역에서의 전위는 영이되며 전장의 세기 [eqn: bold E ( bold r )]와 전속밀도 [eqn: bold D ( bold r )] 또한 이상적으로 영이 된다. 각 도체에서 총전하량은  도체 외부로 전속밀도의 적분값과 같기 때문에 각 도체의 총전하는 영이 된다.

† 일반적인 경우:도체 1과 2에서 임의의 전하([eqn: Q_1], [eqn: Q_2]) 그림 6.28(b)에서 각각의 도체에 임의의 전하가 놓여져 있다. 두 도체를 둘러싸고 있는 반경 [eqn: R]인 구를 생각하고 반경이 무한히 커진다면 구의 표면에서의 전장은 구의 중심에 [eqn: Q_1 + Q_2 ~C]의 전기적 점전하에 의해 나타나는 전장으로 되며 이 경우 커패시턴스의 계산은 부록 [eqn: F]에서 논의한다.

† 특별한 경우:[eqn: Q_1 + Q_2 =0] 일 때 그림 6.28(c)에서 도체에서 전하는 [eqn: Q_1 + Q_2 =0]의 제약에 의해 관련된다. 만약 두 도체를 둘러싸는 반지름 [eqn: R]의 구를 생각하고 반경이 무한대로 접근한다고 하자.

† 구 표면에서의 전장은 구의 중심에서 전기쌍극자에 의해 나타나는 전장이 되며 만약 [eqn: Q_1 > 0]이면 [eqn: Q_2]는 음전하량 (-)이 되고 도체에서의 모든 전속([eqn: psi _e1])은 도체 2에서 도달하게 된다. 만약 [eqn: Q_2 > 0]으로 상황이 반전되면 이 특별한 경우를 위한 커패시턴스의 계산을 다시 고려할 것이다.

한 도체에서 다른 도체로 전하가 이동할 때

† 두 도체의 총 전하를 합하여 영이 될 때 도체 1에서의 전하는 도체 2에서 도체 1로 전하 [eqn: Q_2]가 전달된 결과로 볼 수 있다. 두 도체의 초기상태가 중성상태라면(.6.28(a)) 도체 2가 [eqn: - Q_12]의 순수전하를 가질 때 도체 1은 [eqn: + Q_12]의 면전하를 가진다. 도체에서는 [eqn: S_1]면에서 [eqn: rho _s1 ( bold r )]의 면전하가 나타나며 [eqn: S_2] 면에서 [eqn: rho _s2 ( bold r )]로 나타난다.

† 일단 전하가 이동되어진다면, 전장은 가우스의 법칙이 다음 식과 같이 되어 이전의 값(영)을 유지하는 것이 불가능해진다. 이때 [eqn: S]는 도체 2를 제외한 도체 1을 둘러싸는 어떤 표면 [eqn: S]이다.

[eqn: OINT_{ S } bold D ( bold r ) cdot d bold s = epsilon_r epsilon_0 OINT_{ S } bold E ( bold r ) cdot d bold s]

† 영이 아닌 전계는 일반적으로 두 도체 사이에서 전위차 [eqn: V_12]에 의하여 나타난다.

전위차 [eqn: V_12]의 유일성

† 앞장에서 설명된 유일성 이론의 변형된 형태는 도체 2에서 도체 1로 전하([eqn: Q_12])의 이동은 두 도체간의 고유한 전위차 [eqn: V_12]에 의하여 이루어짐을 증명하기 위해 이용된다.

† 특히, [eqn: V_a ( bold r )]와 [eqn: V_b ( bold r )]를 도체 외부영역에서 라플라스방정식의 두 개의 해로 가정한다면 [eqn: V_c ( bold r )]를 두 해 사이의 차로 놓자. 즉,

[eqn: V_c ( bold r ) = V_a ( bold r ) - V_b ( bold r )]

† [eqn: V_c ( bold r )]는 라플라스방정식의 해가 되어야 하며, 각 도체의 외부 표면은 [eqn: bold r]가 [eqn: S_1] 또는 [eqn: S_2] 위에 존재하더라도 [eqn: V_a ( bold r )]와 [eqn: V_b ( bold r )]가 상수가 되므로 등전위가 된다. 이들 상수는 각각 [eqn: S_1]과 [eqn: S_2] 위의 전위함수 [eqn: V_a ( bold r )]에 대한 [eqn: V_a1]과 [eqn: V_a2]라 하고 [eqn: S_1]과 [eqn: S_2] 위의 전위함수 [eqn: V_b ( bold r )]에 대해 각각 [eqn: V_b1]과 [eqn: V_b2]라 하면 두 두체에서의 [eqn: V_c ( bold r )]값은

[eqn: V_c1 = V_a1 - V_b1]([eqn: S_1]에서)

[eqn: V_c2 = V_a2 - V_b2]([eqn: S_2]에서)

† 도체 1에서의 순수전하(net charge)는 [eqn: +- Q_12]이므로

[eqn: epsilon _r epsilon_0 OINT_{ S_1 } del V_c ( bold r ) cdot d bold s = epsilon _r epsilon_0 OINT_{ S_1 } del V_a ( bold r ) cdot d bold s - epsilon _r epsilon_0 OINT_{ S_1 } del V_b ( bold r ) cdot d bold s = Q_12 - Q_12 =0]

† 이며 다음과 같다.

[eqn: OINT_{ S_1 } del V_c ( bold r ) cdot d bold s = 0]

† 유사한 방법으로 도체 2에서는

[eqn: OINT_{ S_2 } del V_c ( bold r ) cdot d bold s = 0]

† 이 된다. 스칼라[[eqn: V_c ( bold r )]]와 벡터 [[eqn: del V_c ( bold r )]]의 곱의 발산에 대한 식을 이용하고, [eqn: V_c ( bold r )]가 도체 외부영역에서 라플라스 방정식의 해이므로

[eqn: del cdot [ V_c (bold r ) del V_c ( bold r )]= [del V_c ( bold r )] cdot [del V_c ( bold r )] + V_c (r ) [ del^2 V_c ( bold r )]]

[eqn: = [ del V_c ( bold r )] cdot [ del V_c ( bold r )]]

† 가 된다. 이 식은 도체 외부영역과 반경 [eqn: R]의 구면 내부구간에 걸쳐 하며 이때, 구면은 도체들을 둘러싸기에 충분히 크다고 가정하며

[eqn: INT del cdot [ V_c ( bold r ) del V_c ( bold r ) ] dv = INT left { [ del V_c ( bold r )] cdot [ del V_c ( bold r ) ] right } dv]

† 가 된다. 여기서 왼쪽의 체적적분은 발산이론을 적용하여 면적분의 값으로 구할 수 있다.

[eqn: INT left { [del V_c ( bold r )] cdot [ del V_c ( bold r )] right }dv = INT del cdot [ V_c ( bold r ) del V_c ( bold r )] dv]

[eqn: = OINT_{ S_1 } [ V_c ( bold r ) del V_c ( bold r ) ] cdot d bold s + OINT_{ S_2 } [ V_c ( bold r ) del V_c ( bold r ) ] cdot d bold s + OINT_{ C_R } [V_c ( bold r ) del V_c ( bold r ) ] cdot d bold s]

[eqn: = V_c1 OINT_{ S_1 } del V_c ( bold r ) cdot d bold s + V_c2 OINT_{ S_2 } del V_c ( bold r ) cdot d bold s + OINT_{ S_R } [ V_c ( bold r ) del V_c ( bold r ) ] cdot d bold s]

[eqn: = 0 + 0 + OINT_{ S_R } [ V_c ( bold r ) del V_c ( bold r ) ] cdot d bold s]

† 구면의 겉면적이 [eqn: R^2]에 따라 증가하므로 [eqn: S_R]의 반경 [eqn: R]가 확정되며, 그러나 [eqn: R]가 확장됨에 따라, 서로 반대로 충전된 두 개의 도체에 의해 형성되는 전위와 전계는 전기쌍극자에 의해 형성되는 전위와 전계에 가까워진다. 이것은 적분 [[eqn: V_c ( bold r ) del V_c ( bold r )]]을 구의 겉면적이 무한대로 근접하는 것보다 더 빠르게 영으로 접근하게 되므로, 그 결과

[eqn: INT left { [ del V_c ( bold r ) ] cdot [ del V_c ( bold r ) ] right } dv = Lim from { R -> inf } OINT_{ S_R } [ V_c ( bold r ) del V_c ( bold r )] d bold s = 0]

† 이 된다. [eqn: V_c ( bold r )=V_c1]인 경우 어느 곳에서나 [eqn: V_c ( bold r )]는 상수 [eqn: V_c1]이 되어야 한다.

† 그러나 [eqn: V_a ( bold r )]와 [eqn: V_b ( bold r )]는 도체로부터 멀리 떨어진 곳에서는 영이 되므로 상수 값의 [eqn: V_c ( bold r )]는 영이 되어야 하고, 두 도체간의 전위차는 [eqn: V_a ( bold r )]의 해가 이용되는 [eqn: V_b ( bold r )]을 이용하든지간에 동일해야 한다. 왜냐하면

[eqn: V_b1 - V_b2 = ( V_a1 + V_c1 ) - ( V_a2 + V_ c2 ) = ( V_a1 + 0 ) - ( V_a2 + 0 ) = V_a1 - V_a2]

이기 때문이다.

† 윗식에서, [eqn: V_a ( bold r )]에 의한 도체간 전위차는 [eqn: V_b ( bold r )]에 의한 전위차와 같음을 알 수 있다.

전위차로 전달된 전하비에 의한 커패시턴스

† 함수 [eqn: f( bold r )]가 [eqn: 1C]의 전하가 도체 2에서 도체 1로 이동되었을 때의([eqn: Q_12 = 1C]) 라플라스방정식의 유일한 해라 하고, [eqn: f_1]과 [eqn: f_2]가 각각 도체 1과 2에서의 [eqn: f( bold r )]값이라 하면, 두 도체의 커패시턴스 [eqn: C]는 다음과 같이 정의한다.

[eqn: C = {1 ~쿨롬} over { f_1 - f_2 } = {1 ~쿨롬} over { f ( bold r ) vert_{conductor~1} - f ( bold r ) vert_{conductor~2}}]	(6.73)

† 커패시턴스의 단위는 전압당 쿨롬([eqn: C/V])(또는 패럿, [eqn: F])이며 전하 [eqn: 1C]의 이동이 도체 사이에 [eqn: 1V]의 전위차를 나타낼 때, 두 단자 사이의 커패시터가 [eqn: 1F]의 커패시턴스를 가진다라고 말한다.

커패시턴스에 대한 다른 식들

† [eqn: 1C] 외에 어떤 전하량 [eqn: Q_12]가 도체 2에서 도체 1로 이동된다면 앞에서의 해 [eqn: f( bold r )]에 [eqn: Q_12]를 곱함으로써 다플라스방정식의 해가 얻어질 수 있다.

[eqn: V( bold r ) = Q_12 f ( bold r )]

† 식 (6.73)의 양변을 [eqn: Q_12]로 곱하고 나누면,

[eqn: C= Q_12 over Q_12 times {1~쿨롬} over { f ( bold r ) vert {conductor~1} - f ( bold r ) vert_{conductor~2}}]

[eqn: = Q_12 over { V( bold r ) vert_{conductor~1} - V( bold r ) vert_{conductor~2}}= Q_12 over V_12]	(6.74)

† 이며, 여기서 [eqn: V_12]는 도체 2에 대한 도체 1의 전위이다. 이 방정식은 다음과 같이 [eqn: V( bold r )]의 값으로 나타낼 수 있다.

[eqn: Q_12 = OINT_{ S_1} bold D ( bold r ) cdot d bold s = - epsilon_r epsilon_0 OINT_{ S_1 } [ del V ( bold r ) ] cdot d bold s]

† 따라서,

[eqn: C = { - epsilon_r epsilon_0 OINT_{ S_1 } [ del V ( bold r ) ] cdot d bold s } over { V( bold r ) vert_{conductor~1} - V( bold r ) vert_{conductor~2}}]	(6.75)

† 이다. 또한, 커패시턴스를 전장으로 표현한다면 다음과 같다.

[eqn: C = { - epsilon_r epsilon_0 OINT_{ S_1 } [ del V ( bold r ) ] cdot d bold s } over { V( bold r ) vert_{conductor~1} - V( bold r ) vert_{conductor~2}} = { epsilon_r epsilon_0 OINT_{ S_1 } [ del V ( bold r ) ] cdot d bold s } over { - INT _{ conductor~2 }^{ conductor~1 } bold E ( bold r ) cdot d bold l }]	(6.76)

6.6.3 인덕턴스

간단한 평면 루프의 자속쇄교

† 그림 6.31에서와 같이 자장이 존재하는 곳에 있는 폐루프를 고려하자. 이 경우, 루프는 단일평면으로 한정하며 루프를 통과하는 자속 양 루프에 의해 나타나는 면 [eqn: S]에 대하여 다음과 같이 주어진다.

[eqn: psi_m = INT _{ S} bold B ( bold r ) cdot d bold s]

† 자속선은 일정한 폐곡선을 형성하는 것을 상기하고 자속 [eqn: psi_m]을 나타내는 모든 선속은 루프의 주위를 에워싸 완전히 쇄교되어야 한다. 그리고 이 루프의 자속쇄교([eqn: LAMBDA])는 루프의 면으리 통과하는 선속의 양과 수치적으로 같아야 한다. 기호적으로,

[eqn: LAMBDA = INT _{ S } bold B ( bold r ) cdot d bold s]

† 이고 특별한 경우의 자속쇄교는 자속 [eqn: psi_m]이다.

코일을 포함하는 루프의 자속결합

† 그림 6.32에 나타난 루프는 그림 6.31에 나타난 루프보다는 간단하지 않다. 코일을 포함한 루프의 경계부분에 의하여 루프는 더이상 평면으로 간주할 수 없다. 이와 같이 복잡한 루프가 주어진다면 자속선은 1회 이상 루프면적을 통과하게 되며 그림 6.33을 보면 이러한 현상이 어떻게 생기는지 쉽고 간단하게 증명할 수 있다. 이러한 증명의 중요성을 인지하기 위하여 단계 2에서 사용된 도선이 자속선이기보다는 얇은 자속튜브를 나타낸다고 하자. 논의를 증명하기 위하여 자속튜브의 자속량이 [eqn: 2Wb]라고 가정하자. 비록 튜브가 [eqn: 2Wb]의 자속을 포함하는 다른 자속튜브가 루프의 권선과 쇄교하며 루프에서의 자속쇄교는 권선에 비례한 적은 양만 나타남을 생각하 ㄹ수 있다. 결국 각 튜브의 자속이 동일하더라도 각 튜브가 자속쇄교의 총 양은 같지 않음을 알 수 있다.

자기적으로 결합된 루프에서의 자속쇄교

† 그림 6.34에서는 두 개의 루프를 나타낸다. 루프 1에서는 [eqn: I_1 ~ A]의 전류가 흐르고 루프 2에서는 [eqn: 0A]의 전류가 흐른다. 그림 6.34는 두 가지 형태의 [eqn: psi_m10]과 [eqn: psi_m12]을 보여주고 있다. [eqn: psi_m10]은 루프 1만 쇄교되며 [eqn: psi_m12]는 양쪽의 루프에 쇄교됨을 구분할 수 있다. 양쪽 루프에 쇄교되는 자속 [eqn: psi_m12]는 루프 사이에 상호자속(mutual flux)을 구성하며 루프 1에 쇄교하는 [eqn: psi_m10]은 누설자속이 된다. [eqn: I_2 = 0]인 상태에서 루프 1에서의 총 자속쇄교 [eqn: LAMBDA _11]은 누설자속에의 한 자속쇄교 [eqn: LAMBDA _10]과 상호자속에 의한 자속쇄교 [eqn: LAMBDA _12]의 합으로 구성된다.

[eqn: LAMBDA _11 = LAMBDA _10 + LAMBDA _12]	(6.78)

† 만약 상호자속에 [eqn: LAMBDA _12]가 영이 아니라면 두 개의 루프는 자기적으로 결합되었다고 말할 수 있다. [eqn: I_2 = 0]인 상태에서 식 (6.78)에서 루프 1에서의 모든 자속쇄교는 루프 1에 흐르는 전류에 의하여 나타나므로 루프 1에서의 총 자속쇄교 [eqn: LAMBDA _11]을 자기자속쇄교(self-flux linkage)라 한다.

루프 1의 자체인덕턴스

† 종래의 양의 자속선 쇄교방향을 정하기 위하여 종래의 오른손 법칙을 사용하면 루프 1의 자기 자속쇄교는 항상 양의 값을 나타낸다. 특히 오른손 엄지손가락은 전류 [eqn: I_1] 방향을 가르키며 그림 6.35처럼 손가락이 가르키는 것과 같이 루프 1을 에워싼 자속선을 나타낼 때 자기자속쇄교(self-flux linkage)는 양의 값이된다.

† 전류 [eqn: I_1]과 자기자속쇄교의 비를 루프 1의 자체인덕턴스라 정의하며 다음과 같다.

[eqn: L_1 = LAMBDA _11 over I_1]

† 전류 [eqn: I]와 상호자속쇄교의 비를 계수 [eqn: M_12]라 정의하면

[eqn: M_12 = LAMBDA _12 over I_1]

† 이며 이 계수는 상호인덕턴스를 나타냄을 증명할 수 있으나 현재는 오른손 법칙이 [eqn: M_12]와 [eqn: L_1]이 [eqn: +]값을 나타냄을 확인할 수 있다.

루프 2에서의 자체인덕턴스

† 그림 6.36에서 루프 1에서의 전류는 영이고, 루프 2에서의 전류는 [eqn: I_2]라고 가정하자. [eqn: I_2]에 의한 자속은 앞에서와 동일한 범주로 간주하며 루프 2에서의 총 자속쇄교는

[eqn: LAMBDA _22 = LAMBDA _20 + LAMBDA _21]

† 이며, 루프 2에서의 자체인덕턴스는

[eqn: L_2 = LAMBDA _22 over I_2]

† 로 정의하고 계수 [eqn: M_12]

[eqn: M_21 = LAMBDA _21 over I_2]

† 이라 정의한다.

각 루프의 총 자속쇄교를 구하기 위한 중첩

† 두 루프 전류 [eqn: I_1]과 [eqn: I_2]가 동시에 영이 아니라고 하면 루프 1에서의 총 자속쇄교 [eqn: A_1]은 전류 [eqn: I_1]에서의 자속쇄교와 전류 [eqn: I_2]에서 나타나는 자속쇄교의 합으로 간주할 수 있다. 즉,

[eqn: LAMBDA _1 = LAMBDA _11 +- LAMBDA _21 = L_1 I_1 +- M_21 I_2]	(6.79)

† 그림 6.34와 6.36에서 선정한 상호자속의 방향은 자기자속(self-flux)을 크게 하는 방향이며, 이 경우 식 (6.79)는 [eqn: LAMBDA _1 = L_1 I_1 + M_21 I_2]이다. 그림에서 전류의 방향이 기준 방향에 반대로 된다면 식 (6.79)는 [eqn: LAMBDA _1 = L_1 I_1 - M_21 I_2]이다. 비슷한 방법으로 [eqn: I_1]과 [eqn: I_2]가 동시에 영이 아닐 때 루프 2의 총 자속쇄교는

[eqn: LAMBDA _2 = LAMBDA _22 +- LAMBDA _12 = L_2 I_2 +- M_12 I_1]	(6.80)

† 이고 [eqn: +]기호는 그림 6.34와 6.36에서 전류의 기준 방향의 특정한 방향 선택에 적용된다.

상호 인덕턴스

† 계수 [eqn: M_12]와 [eqn: M_21] 첨자의 교환(즉, [eqn: M_12 = M_21])할 수 있는 대칭임을 증명할 수 있다. 이러한 특성은

[eqn: A_12 = I_2 가~영일~때 ~프~2의~자속쇄교 = INT _{ S2 } {bold B}_1 ( bold r ) cdot d {bold s }_2]

† 여기서 [eqn: S_2]는 루프 2에서의 경계면이고 [eqn: {Bold B}_1 ( bold r )]는 전류 [eqn: I_1]에 의해 생기는 자속밀도이다. [eqn: {bold A}_1( bold r )]를 [eqn: I_1]에 의한 벡터 자기퍼텐셜이라 하고 스토크스의 이론을 사용하면

[eqn: A_12 = INT _{ S_2} {bold B}_1 ( bold r ) cdot d {bold s}_2 = INT _{ S_2 } [ del times {bold A }_1 ( bold r ) ] cdot d {bold s}_2 = OINT_{ loop~ 2 } {bold A}_1 ( bold r ) cdot d {bold l}_2]

† 가 되고 [eqn: {bold A}_1( bold r )]는 [eqn: I_1]에 대한 식을 사용하면

[eqn: A_12 = OINT_{ loop~2} left { OINT_{ loop~1 } I_1 {mu d {bold l}_1 } over {4 pi R} right }cdot d {bold l}_2 = I_1 left { mu over {4 pi} OINT_{ loop~2} OINT_{ loop~1} { d {bold l}_1 cdot d { bold l}_2 } over R right }]

† 가 된다. 계수 [eqn: M_12]를 다시 정의하면

[eqn: M_12 = A_12 over I_1 = left { mu over { 4 pi } OINT_{ loop~2 } OINT_{ loop~1 } { d {bold l}_1 cdot d { bold l}_2 } over R right }]	(6.81)

† 이며, 여기서 [eqn: R]는 루프 1의 한 점에서 루프 2의 한 점까지의 거리이다. [eqn: d {bold l}_1]과 [eqn: d {bold l}_2]의 방향은 [eqn: I_1]과 [eqn: I_2]의 방향과 일치한다. 식 (6.81)은 상호 인덕턴스의 노이만의 공식의 예이다. 루프 2가 자장쇄교 루프 1의 자속원으로 고려할 때 노이만의 공식은

[eqn: M_21 = LAMBDA _21 over I_2 = left { mu over {4 pi } OINT_{ loop~1 } OINT_{ loop~2 } { d {bold l}_2 cdot d {bold l}_1 } over R right }]	(6.82)

† 로 나타날 수 있다. 적분순서와 [eqn: d {bold l}_2]와 [eqn: d {bold l}_1]의 내적 순서는 이중 적분값에 영향을 끼치지 않으므로

[eqn: M_12 = M_21]

† 이 된다.

† [eqn: M_12]와 [eqn: M_21]의 값을 상호인덕턴스라 하며 일반적인 표기 [eqn: M]으로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: M = M_12 = M_21]

상호, 자체 인덕턴스의 단위

† 자체인덕턴스와 상호인덕턴스는 전류([eqn: A])에 대한 자속쇄교의 비이므로 인덕턴스의 단위는 단위암페어당 웨버-회전(Weber-turns)을 의미한다. [eqn: 1A]의 전류가 흐를 때 1 Wb-turn의 자속이 생길 때를 [eqn: 1H]라 한다.

상호결합 인덕턴스의 점 표기

† 식 (6.79)와 (6.80)의 부호는 상호자속을 높이거나 ([eqn: +]부호) 자체자속을 줄이는 것([eqn: -]부호)에 따라 결정된다. 이러한 과정은 그림 6.34처럼 도시한 것과 같이 두 루프에서 일어난다. 기준 전류의 방향이 주어졌을 때 상호자속은 높이거나 또는 자기자속을 감소시키는 것을 나타낼 수 있도록 상세히 그려야 한다. 회로도에서 결합인덕턴스는 그림 6.37처럼 간단한 표기법으로 나타낼 수 있다. 자체자속과 상호자속의 상대방향을 나타내는 간이 표현법의 결여을 보충하기 위하여 각 코일의 끝에 점을 표기하며 상호인덕턴스의 경우 기준 전류의 방향이 결합인덕턴스의 표기점 끝으로 흘러 들어갈 때 [eqn: +]기호를 가지게 되며 이와 반대의 경우 상호인덕턴스는 [eqn: -]부호를 나타낸다.

6.7 요약

분극과 자화

† 이 장은 물질에서 전장과 자장을 나타내도록 진공상태에서 정전장과 정상자장에 대한 논의를 적용하였다. 유전물질은 인가 전장에 의하여 전기 쌍극자의 배열로 특성화되며 거시적인(macroscopic) 기초에서, 단위체적당 평균 쌍극자 모멘트는 전기적 분극 벡터 [eqn: bold P ( bold r )]로 묘사하였다. 유사한 방법으로, 자성체는 인가 자장에 의하여 자기쌍극자의 배열로 특성화된다. 다시 거시적인(macroscopic)으로, 단위체적당 평균 자기쌍극자 모멘트는 자기 벡터 [eqn: bold M ( bold r )]로 묘사되어진다.

구속전하와 구속전류

† 유전물질에서 전기쌍극자와 관련된 전하는 구속전하라 한다. 유전체의 표면에서 구속전하밀도는 전기분극 벡터와 관련시켜 설명할 수 있다.

[eqn: rho_sb ( bold r ) = bold P ( bold r ) cdot bold hat n ~C/m^2]

† 여기서 [eqn: bold hat n]은 유전체의 표며에 수직인 단위벡터로 표기된다. 유전체 내에서 구속전하밀도는 다음에 의해서 주어진다.

[eqn: rho_sb ( bold r ) = - del cdot bold P ( bold r )~C/m^2]

† 자성체에서 자기쌍극자와 관련된 전류는 구속전류라고 할 수 있다. 자성체 표면에서의 구속전류밀도는 다음 식과 같다.

[eqn: {bold J}_sb ( bold r ) = bold M ( bold r ) times bold hat n ~ A/m]

† 자성체내에서 구속전하밀도는 다음 식과 같다.

[eqn: {bold J}_b ( bold r ) = del times bold M ( bold r )~A/m^2]

전속밀도와 자장세기

† 2개의 새로운벡터장, 전속밀도 [eqn: bold D ( bold r )]와 자장세기 [eqn: bold H ( bold r )]는 다음과 같이 정의한다.

[eqn: bold D ( r ) = bold P ( bold r ) - epsilon_0 bold E ( bold r )]

† 그리고

[eqn: bold H ( r ) = 1 over mu_0 bold B ( bold r ) - bold M ( bold r )]

† 이 방법으로 2개의 새로운 벡터장을 정의함으로써, 폐곡면에 대한 [eqn: bold D ( bold r )]의 선속은 둘러싸여진 자유전하 총합과 비례함을 알 수 있으며, 폐경로에 대한 [eqn: bold H ( bold r )]의 순환은 폐경로에 의한 면적을 통과한 자유전류에 비례한다.

[eqn: OINT bold D ( bold r ) cdot d bold s = Q]

[eqn: OINT bold H ( bold r ) cdot d bold l = I]

† 적합한 조건에서, 앞의 방정식의 미분형은 다음과 같이 나타낸다.

[eqn: del cdot bold D ( bold r ) = rho_v ( bold r )]

[eqn: del times bold H ( bold r ) = bold J ( bold r )]

맥스웰 방정식

† 시변장에 대한 맥스웰 방정식의 일반적인 형태는 제 8장에서 논의할 것이다. 방정식은 미분형 또는 적분형의 둘 중 하나로 쓰여질 수 있다. 정전장, 정상자장의 경우, 적분형태의 맥스웰 방정식은 다음 식과 같으며,

[eqn: OINT bold E ( bold r ) cdot d bold l = 0]

[eqn: OINT bold H ( bold r ) cdot d bold l = I]

[eqn: OINT bold D ( bold r ) cdot d bold s = Q]

[eqn: OINT bold B ( bold r ) cdot d bold l = 0]

† 미분형태에서 맥스웰 방정식은 다음 식과 같다.

[eqn: del times bold E ( bold r ) = 0]

[eqn: del times bold H ( bold r ) = bold J ( bold r )]

[eqn: del times bold D ( bold r ) = rho_v ( bold r )]

[eqn: del times bold B ( bold r ) = 0]

† 이 식에서는 제 3장과 제 4장에서 구한 전장세기([eqn: bold E])와 자속밀도([eqn: bold B])를 포함하고 있으며 나머지 식은 본장에서 구하였다.

유전율과 투자율

† 선형 균일 물질의 경우(본 교재의 전체에서 고려하지만), 간단한 선형 관계는 전장세기 [eqn: bold E ( bold r )]와 전속밀도 [eqn: bold D ( bold r )] 사이에서 존재하며, 자장세기 [eqn: bold H ( bold r )]와 자속밀도 [eqn: bold B ( bold r )] 사이에서도 마찬가지이다. 이런 관계는,

[eqn: bold B ( r ) = mu bold H ( bold r )]

[eqn: bold D ( bold r ) = epsilon bold E ( bold r )]

† 이며 여기서, 비례상수 [eqn: mu]와 [eqn: epsilon]는 각각 투자율과 유전율이라 한다.

전도물질

† 전기적인 도체의 경우, 전장의 세기 [eqn: bold E ( bold r )]와 자유전류밀도 [eqn: bold J ( bold r )]의 관계는 간단한 선형 방정식에 의해서 다음 식과 같이 표현된다.

[eqn: bold J ( bold r ) = sigma bold E ( bold r )]

† 이때 상수 [eqn: sigma]는 도전율이라고 불린다.

연속방정식

† 연속방정식의 적분형태는 체적 안에서 전하의 축적의 비로 나타낸다.

[eqn: dQ over dt = - OINT_{ S } bold J ( bold r , t ) cdot d bold s]

† 여기서 [eqn: S]는 체적경계를 나타내는 폐곡면이다. 이 방정식의 미분 형태는 한 점에서의 전하밀도의 변화분을 나타내는 발산정리의 적용에 의하여 다음 식과 같다.

[eqn: partial over partialt rho_v ( bold r , t ) = - del cdot bold J ( bold r , t )]

† 연속방정식은 정적 조건이 영인 상태에서 도체내의 체적전하밀도를 나타내는 데 사용된다.

경계조건

† 서로 다른 두 물질들을 접합시켰을 때, 물질 사이의 경계면은 표면을 형성하며 이 표며의 반대편상의 전장과 자장 사이의 관계는 경계조건을 설정하게 된다. 이 경계조건은 여러 가지 형태로 표현할 수 있다.

[eqn: bold hat n cdot [ {bold D}_2 ( bold r ) - {bold D}_1 ( bold r ) ] = - rho_s ( bold r )]

[eqn: bold hat n cdot [ {bold B}_2 ( bold r ) - {bold B}_1 ( bold r ) ] = 0]

[eqn: bold hat n cdot [ {bold H}_2 ( bold r ) - {bold H}_1 ( bold r ) ] = {bold J}_s ( bold r )]

[eqn: bold hat n cdot [ {bold E}_2 ( bold r ) - {bold E}_1 ( bold r ) ] = 0]

† ㅍ첨자 1, 2 는 두 가지 물질들을 언급하고, [eqn: bold hat n]은 물질 1에 법선방향을 표기한다.

저항, 커패시턴스, 인덕턴스

† 저항, 커패시턴스, 인덕턴스는 전기회로의 구성요소이다. 2개의 종단된 도체의 컨덕턴스는 [eqn: 1V]의 전위차(종단사이에서)에 대해서 도체에 흐르는 전류의 양이다. 만약 도전율과 도체 사이의 전장을 알고 있다면, 정전용량은 다음과 같이 나타낸다.

[eqn: G= {LEFT | sigma OINT_{ S } bold E ( bold r ) cdot d bold s ~ RIGHT | } over { LEFT | INT _{ terminal~1 }^{terminal~2 } bold E ( bold r ) cdot d bold l ~ RIGHT | }]

† 저항성은 컨덕턴스의 역수로 다음과 같다.

[eqn: R = 1 over G = { LEFT | INT _{ terminal~1 }^{terminal~2 } bold E ( bold r ) cdot d bold l ~ RIGHT | } over {LEFT | sigma OINT_{ S } bold E ( bold r ) cdot d bold s ~ RIGHT | }]

† 2개의 도체 커패시터의 정전용량은 하나의 도체에서 다른 도체까지의 전하변화를 도체 사이의 전위차로 나눈 값이다. 만약 유전율과 전장을 알고 있다면, 커패시턴스는

[eqn: G= {LEFT | epsilon OINT_{ S_1 } bold E ( bold r ) cdot d bold s ~ RIGHT | } over { LEFT | INT _{ conductor~1 }^{ conductor~2 } bold E ( bold r ) cdot d bold l ~ RIGHT | }]

† 이다. 전류가 흐르는 도체의 자체인덕턴스는 전류에 의하여 만들어지는 자속쇄교의 비율로 다음 식과 같다.

[eqn: L = LAMBDA over I]

† 자속쇄교는 주어진 자속이 한 번 이상(여러 번의 권선일 때) 또는 한 번 이하(내부 자속쇄교의 경우) 전류를 감돌게 되는 가능성으로 설명할 수 있다. 일반적으로 자속쇄교의 계산은 자속밀도 [eqn: bold B ( bold r )] 및 도체의 전류분포 형태에 의존한다.

† 상호 인던턴스는 2개 또는 그 이상의 도체가 근접하여 위치하고 있을 때 나타나며, 이 경우 도체를 포함한 회로를 자기적으로 결합되었다고 말한다.